质量不等“三星”问题的分析方法

◇ 山东 曲开菊

天体运动中涉及的“三星”问题，通常情况下以三颗星体质量相等为前提，以两种运动形式呈现.第一种形式是三颗星在同一条直线上，两边的两颗星绕着中间一颗星做匀速圆周运动；第二种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点，绕等边三角形的中心做匀速圆周运动.如果三颗星质量不等，又该如何分析解决呢?

1 直线型质量不等三星问题

例1在宇宙中，单独存在的恒星占少数，更多的是双星、三星甚至多星系统.如图1所示为一个简化的直线三星系统模型：其中a、b 星球质量为m，c 星球质量为2m，a、b 两个星球绕处于二者中心的c 星球做半径为r 的匀速圆周运动.已知引力常量为G，忽略其他星体的引力作用，则下列说法正确的是( ).

图1

D.若因某种原因c 星球的质量缓慢减小，则星球a、b 的线速度均将缓慢增大

a 星球所受的c、b 两星体万有引力的合力提供了其做圆周运动的向心力，则有解得故选项A 错误；对a 星球有故选项B错误；对b 星球有解得T＝故选项C正确；若因某种原因c 星球的质量缓慢减小，则星球a、b 做离心运动，轨道半径变大，所以线速度均将缓慢减小，故选项D 错误.

2 正三角形质量不等三星问题

例2由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，其中有一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于一等边三角形的三个顶点上，绕某一共同圆心O 在等边三角形所在的平面内做角速度相同的圆周运动，如图2所示.已知A 星体质量为2m，B、C 两星体质量均为m，AD 为BC 边的中垂线，三角形的边长为a.下列说法正确的是( ).

A.圆心O 在中垂线AD 中点处

图2

圆心位置的确定：由于B、C 两星体质量相等，则A 星体所受B、C 两星体万有引力的合力必定在AD 线上.再对B 星体进行受力分析，假设C 星体对B 星体的万有引力为F，则A 星体对B星体的万有引力为2F，由力的合成，作出平行四边形如图3所示，平行四边形对角线与AD 交于点O，根据平行四边形的规律可知两对角线的交点就是对角线的中点，故圆心O 在中垂线AD 的中点处.选项A 正确.B、C 两 星 体 对A 的 引 力FBA＝所受合力为选项B 错误.在Rt△OCD 中，由勾股定理得其中选项C错误.A 星体所受的B、C 两星体万有引力的合力提供了其做圆周运动的向心力，则选项D 正确.

图3

对于不等质量的三星问题，解题的思路依然为找到每个星体的向心力来源，再结合力的合成、牛顿运动定律、几何关系进行求解.