巧求解，妙拓展——一道江苏模拟三元最值题的拓展

◎袁文娟 （江苏省张家港中等专业学校，江苏 张家港 215600）

在近些年的高考模拟题、高考题与数学竞赛题中，经常会有求解双变元或多变元的代数式的最值（最大值或最小值）或取值范围的问题．此类问题往往非常新颖，难度幅度较大，思维方式多变，破解方法多样．著名数学家、教育学家G．波利亚在《怎样解题》一书中指出：“好题目和某种蘑菇有点相似之处：它们都是成串成长，找到一个以后，我们应该看看，很有可能在很近的地方又能找到更多的．”下面笔者结合一道江苏模拟卷中的三变元最值题来加以实例剖析，结合多思维角度的切入，从而正确破解，并在此题的基础上深入挖掘，变式拓展，以达到“触类旁通”“一题多变”“一题多解”的良好效果．

一、问题呈现

【问题】（2018 届江苏省金陵中学、海门中学、南师附中三校高三数学第四次模拟·13）已知正数x，y，z 满足x2＋y2＋z2＝1，则的最小值是．

此题是涉及已知代数关系式条件下的三变元代数式的最值题，条件简洁，字母变化大，没有规律性，给解题带来不少难度．破解该问题的基本的思维方向就是通过已知关系式加以转化，利用基本不等式、柯西不等式、权方和不等式等方法加以处理，其中离不开基本不等式、不等式的性质的综合应用．

二、问题破解

思维角度1：基本不等式思维．

解法1：（基本不等式法）由正数x，y，z 满足x2＋y2＋z2＝1，可得x，y，z∈（0，1），

则由基本不等式可得1-z2＝x2＋y2≥2xy，当且仅当x ＝y时等号成立，进而可得

思维角度2：柯西不等式思维．

解法2：（柯西不等式法）由正数x，y，z 满足x2＋y2＋z2＝1，可得x，y，z∈（0，1），

则由基本不等式可得1-z2＝x2＋y2≥2xy，当且仅当x ＝y时等号成立，则有

思维角度3：权方和不等式思维．

解法3：（权方和不等式法）由正数x，y，z 满足x2＋y2＋z2＝1，可得x，y，z∈（0，1），

则由基本不等式可得1-z2＝x2＋y2≥2xy，当且仅当x ＝y时等号成立，进而可得

思维角度4：导数思维．

解法4：（导数法）由正数x，y，z 满足x2＋y2＋z2＝1，可得x，y，z∈（0，1），

则由基本不等式可得1-z2＝x2＋y2≥2xy，当且仅当x ＝y时等号成立，进而可得则有

点评：解决本题主要是利用基本不等式以及不等式的性质对其加以转化，差别是如何对三变元加以转化与应用，进而达到确定最值的目的．这里多次利用了基本不等式，以及柯西不等式、权方和不等式等加以巧妙转化，从而得以确定最值．利用导数思维的转化也是破解此类问题比较常见的一类方法技巧，运用这种方法的关键是合理消元，巧妙地构造函数．

三、变式拓展

变式方向1：保留题目中三变元之间的限制条件，改变原来求解的结论形式为求解三变元的一次代数式的最值问题，从而得到变式拓展⇒

【变式1】已知正数x，y，z 满足x2＋y2＋z2＝1，则S ＝x＋2y＋2z 的最大值是

解析：由于正数x，y，z 满足x2＋y2＋z2＝1，

根据柯西不等式有9＝（1＋4＋4）（x2＋y2＋z2）≥（x＋2y＋2z）2，则有S＝x＋2y＋2z≤3，当且仅当时等号成立，所以S＝x＋2y＋2z 的最大值是3，故填答案：3．

点评：如果进一步改变一次代数式的对应系数，那么通过柯西不等式的应用，以及变式1 的解析过程，可以得到其他相关的三变元的一次代数式（例如，S ＝mx＋ny＋pz，其中m，n，p 为正数）的最值问题．

变式方向2：保留题目中三变元之间的限制条件，改变原来求解的结论形式为求解三变元的分式和的代数式的最值问题，从而得到变式拓展⇒

【变式2】已知正数x，y，z 满足x2＋y2＋z2＝1，则的最小值是．

解法1：（柯西不等式法）由于正数x，y，z 满足x2＋y2＋z2＝1，根据柯西不等式有当且仅当时等号成立，所以的最小值是36，故填答案：36．

点评：通过条件的等价变换，结合分式的特征有效联想到柯西不等式的特征与规律，借助柯西不等式的合理转化，从而得以破解三变元的分式和的代数式的最值问题．当然，也可以通过关系式的展开，利用基本不等式来求解，只是过程较为烦琐，运算量大．

变式方向3：保留题目中三变元之间的限制条件，改变原来求解的结论形式为求解三变元的分子为1 的高次分式代数式的最值问题，从而得到变式拓展⇒

【变式3】已知正数x，y，z 满足x2＋y2＋z2＝1，则的最小值是．

解析：（整体思想）由正数x，y，z 满足x2＋y2＋z2＝1，

点评：根据条件，借助基本不等式以及不等式的性质合理转化，巧妙应用，从而得以破解更为复杂的高次分式代数式的最值问题．

四、解后反思

本文通过对模拟试卷中三变元最值问题的分析，多思维切入的“一题多解”，以及在此基础上的变式、拓展与应用，使得学生在破解三变元最值问题的基础上进一步深入探究，达到解一组数学题、一类数学题的目的，复习总结了数学知识，理解掌握了相关方法，提升了数学能力，为学生养成良好的思维习惯做出有益的尝试．美国著名数学家哈尔莫斯曾说过，“问题是数学的心脏”．对于学生来说，如何确定解题思维，把问题归结到同一个熟悉的“问题”来处理是解决数学问题的关键．