一道不等式“链”题目的反思

李冬周

在不等式（组）的学习过程中，经常遇见形如9≤3x+2<12，1-x≤3+2x<15的不等式，不妨称之为不等式“链”.对于不等式“链”问题，部分初学者感到茫然.本文从教科书上一道习题出发，通过反思和变式研究.展示不等式“链”问题的解题技巧及运用数形结合思想为我们带来的便利，

例 （人教版数学教科书七年级下册第130页第4题）x取哪些整数值时，2≤3x-7<8成立？

解法1：我们可以根据不等号的位置，将不等式“链”分为左、中、右三个部分.先将不等式“链”的左、中、右三个部分同时加上7，得9≤3x<15.

再将不等式“链”的左、中、右三个部分同时除以3.得3≤x<5.

因为x为整数，所以x取3或4.故x取3或4时，2≤3x-7<8成立，

【反思1】上述解答是数学整体思想的体现，是解决不等式“链”问题的常用方法，特别是对于特殊结构的一类问题尤其有效，如解不等式（1）1+x≤3x-5

解法2：原不等式可转化为3x-7≥2，由

3x-7<8第一个不等式得x≥3.由第二个不等式得x<5.

综合得3≤x<5.因為x为整数，所以x取3或4.故x取3或4时，2≤3x-7<8成立，

【反思2】上述解答的关键，是先把给出的不等式“链”裂变成两个不等式，构成不等式组，再解不等式组从而得到问题的解，表面上看有一点烦琐，但是它的适用性更加广泛，是解不等式“链”问题的通法.

变式1：不等式10

解析：原不等式可转化为x+8>10，由

x+8≤4x-1第一个不等式得x>2.由第二个不等式得戈≥3.故原不等式的解集为x≥3.

【反思3】回顾上面的解答过程，会有这样一个疑问：

不等式1010，（2）x+8≤4x-1，（3）10≤4x-1.而上述解答过程中，第（3）个不等式被“忽略”了，会不会影响结果的正确性呢？

在这里告诉大家，不会影响结果的正确性，因为由不等式的传递性，得不等式x+8>10.x+8≤4x-l解集的公共部分，一定在不等式10≤4x-l的解集内，所以，我们今后解不等式x≤y≤z时，只需解不等式组x≤y，即可.

y≤z

【反思4】观察上面两个不等式“链”问题的解答结果，其形式不大相同，这里又有一个疑问：类似于上面的不等式“链”问题一定有解吗？

为了解答这个疑问，不妨先解不等式2x≤3x+10<2x-6.

原不等式可转化为3x+10≥2x，由第一

3x+10<2x.个不等式得x≥-10.由第二个不等式得x<-16.

因为-10>-16，所以原不等式无解，

到此，我们认识到不等式“链”问题实质上就是不等式组问题，它可能有解，也可能无解.受此启发，我们逆向思考，在含有参数的不等式“链”问题中，若已知其无解，能反向确定所含参数的取值范围吗？

这样既直观明了，又能防止出现“张冠李戴”或遗漏等号（或添加等号）的错误，

【反思5】再回到原问题，我们得到不等式2≤3x-7<8的整数解是x=3或x=4.我们再逆向思考，在含有参数的不等式“链”问题中，若已知其整数解，能反向确定所含参数的值或取值范围吗？

变式3：已知关于x的不等式a≤3x-7<6.若其整数解仅为3和4，则你能求出a，b的值或取值范围吗？