孔凡哲 翟予因
不等式与不等式组,是初中数学“数与代数”领域的重要内容之一,它与方程、函数并列为初中数学课程教学内容之中最重要的三种模型.
不等式(组)的学习,是在学习等式、方程、数轴等数学知识基础上进行的.因此,类比等式、方程,利用数轴,深刻体会不等式(组)与等式、方程的相同点与不同点,是学习不等式(组)的重要方法.而深刻理解不等式(组)的概念及不等式的性质,掌握不等式(组)的基本解法,理解解集的概念,是本章学习的要点.
一、体会相等与不等之间的内在统一,引入松弛量
现实世界中,量与量之间的关系既包括相等关系,也包括不等关系,
不等关系与相等关系具有内在的必然关联,既是矛盾的,又是统一的.
事实上,一方面,对于两个量a,b而言,a>b,a=b,a
另一方面,對于不等式a>b,如果我们设c=a-b,那么,不等式a>b其实就是一个等式a=b+c(其中,c是一个正数,这个c通常被称为松弛量).
因此,只要涉及不等式a>b,其实就可以采用上面引入松弛量的方法,将其转化为一个等式a=b+δ(其中,δ是一个正数).由于等量可以直接代人,这就使许多问题的处理变得非常简便,
二.利用数轴帮助理解不等式(组)的解集,体会数形结合思想
数轴是描述不等式(组)的解集的最佳方式之一.其主要依据在于,每一个实数都能用数轴上的点表示,也就是说,每一个实数都对应着数轴上的一个点.
从而,所有大于a的数对应的点,都排在数轴上数a所对应的点的右侧.
运用数形结合思想,结合数轴,我们还可以探寻不等式组解集的规律,形成如下口诀:
同大取大,同小取小,大小小大中间找.大大小小全不要.
在使用口诀解决有关不等式组解集的问题时,先将不等式组中的两个不等式化成最简形式,即求出各自的解集,再巧用口诀,快速、准确地确定不等式组的解集.
按照这样的思路,借助数轴解不等式组,就变得自然、简单.
解析:解第一个不等式,得x≤-1.
解第二个不等式,得x<5.
把两个不等式的解集在数轴上表示出来(如图1).
因此,应选择D.
三、对比等式的性质掌握不等式的性质,并正确运用不等式的性质解不等式
解不等式的依据就是不等式的性质.正确使用不等式的性质,是学习的要点之一.
解析:第①步错误,错在不等号右边的常数项1忘记同时乘6,正确的解答应该是:
去分母得:3(1+x)-2(2x+1)≤6.
第②步错误,错在第二个括号去括号时,括号内的第二项忘记同时乘-2.正确的解答应该是:
去括号得:3+3x-4x-2≤6.
第③步应该是:
移项得:3x-4x≤6-3+2.
第④步应该是:
合并同类项得:一x≤5.
第⑤步应该是:
系数化为1得:x≥-5.