“不等式与不等式组”学习指导

王宗信

现实世界和日常生活中存在大量涉及不等关系的问题.对于这些问题，我们常常要把比较的对象数量化，分析其中的不等关系，列出相应的数学式子——不等式（组），并通过解不等式（组）而得出结论.这样的思路与利用方程（组）研究相等关系是类似的.

一、认識不等式

用符号“<”或“>”或“≥”或“≤”等表示不等关系的式子，叫作不等式.

不等式有两类：

一类是不等式中不含有字母，比如3>2.一3<一1.另一类是不等式中含有字母，比如x+2>3，1/2x<5.

含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫作一元一次不等式.

我们看一元一次不等式x+2>3，当x取2，3，4，…（只要这些值大于1都可以）时，不等式x+2>3都成立，与方程的解类似，我们把使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解.我们还可以发现，一元一次不等式的解有无数个，一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集.

二、解一元一次不等式

求不等式的解集的过程叫作解不等式.

解方程的依据是等式的性质：（1）等式两边都加上（或减去）同一个数（或同一个整式），所得的结果仍是等式;（2）等式两边都乘（或除以）同一个不等于0的数，所得的结果仍是等式.求方程的解就是要把方程变形为x=a的形式.

类似地，解一元一次不等式也要依据不等式的性质：

（1）不等式两边加（或减）同一式子），不等号的方向不变;

（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变;

（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.比如3>2，两边同乘以-1.左边的数变为-3，右边的数变为-2，它们的大小关系与原来左右两边数的大小关系反过来了，不等号必须改变方向，

解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤几乎相同：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.不同的地方是：当不等式系数化为1时，如果不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号要改变方向！另外同学们要养成用数轴来表示不等式的解集的习惯，这会为后续学习不等式组打下坚实的基础.

例1解不等式x+1/6≥x-2/4 +1，并在数轴上表示解集.

解析：去分母（不等式两边同乘以12），得2（x+l）≥3（x-2）+12.去括号，得2x+2≥3x-6+12.移项，得2x-3x≥-6+12 -2.合并同类项，得-x≥4.系数化为1，得x≤-4.（根据不等式的性质3，不等式两边同乘-1，不等号要改变方向）

这个不等式的解集在数轴上的表示如图1所示.

提醒：解此不等式与解一元一次方程x+1/6=x-2/4 +1的步骤大致相同：去分母、去

括号、移项、合并同类项、系数化为1.前四步与解方程的注意事项一样：①去分母时，不等式两边都乘最小公分母12，不要漏乘.②去括号时，利用分配律展开，既不要漏乘，还要注意符号是否需要变号.③移项要注意变号.④合并同类项同样要细心.特别地，系数化为1时，不等式两边同乘一1，不等号要改变方向.在数轴上表示不等式的解集时，因为本题中-4是不等式的解，所以在表示-4的点上画实心圆点，解不等式每一步都需要小心谨慎！

三、解一元一次不等式

例2已知一个钝角的大小是（2x-70）o，求x的取值范围.

解析：根据题意，得2x-70>90，2x-70<180°，把它们合起来，即2x-70>90，解第一

2x-70<180个不等式，得x>80，解第二个不等式得x<125.因为x既是第一个不等式的解集，同时又是第二个不等式的解集，所以x只能是两个不等式解集的公共部分.两个不等式的解集在数轴上的表示如图2所示.

这两个不等式解集的公共部分是80

提醒：一般地，每一个一元一次不等式的解集有两种可能，以含有两个一元一次不等式的不等式组为例，第一个不等式的解集可能是x>a或者xc或者x

可以看出，当不等式组的解集为x>a的公共部分时，x>c其解集为较大者.可简记为：同大取大.

对于（2）x

xd，b=d，b

通过上述的探究，我们得到的体会是：在解不等式组时，先分别求出其中各个不等式的解集，再在数轴上分别表示各个不等式的解集，利用数轴可以很直观地看出这些不等式解集的公共部分，进而得到不等式组的解集.