从寻常计算错例看课堂教学的缺失

徐明旭

[摘  要] 从寻常计算错例中探寻课堂教学的缺失，是改进小学数学教学的有效举措之一，也是发展学生计算能力和运算意识的重要途径。教师应利用错例引导学生关注对计算结果合理性的评判，在甄别中吃透计算的算理与方法，在丰富计算算理的体验上下功夫。同时，教师还应提供变式训练，让他们的计算学习走向理性，更具灵性。

[关键词] 计算;错例;合理性;正确性;灵活性

《义务教育数学课程标准（2011年版）》把运算能力确定为十大数学核心素养之一，从中不难看出，要让学生学得有价值的数学，学会对未来生活有帮助的数学，计算就是无法割舍的重要一环。因此，教师应充分关注学生在寻常计算中所表现出的不足，反思课堂教学的各个环节，如在细化运算法则和运算律等知识的教学引导中，是否做到了让学生在真切的体验中明晰和理解运算的算理等，从而改进课堂教学的方式与方法，引导学生正确且深刻地解读运算规则和法则等。教师应设计合适的教学情境促进学生学习思考，引导他们去寻求到一种较为合理简洁的运算途径，让他们的计算学习获得质的提升，达成发展运算能力的教学目标。

一、轻视计算结果合理性评判的引导

重结果是计算教学的最大缺陷之一。在计算练习中，我们会经常遇到这样的一种现象，即有一部分学生总是在某一类计算中出现错误雷同的问题，而如果仅仅把问题的根源追溯到学生头上，那么这类问题将难以得到重视与纠正。因此，我们得从教学层面寻找原因，反刍相关计算教学的整个过程，审视教学的每一处细节，反思教学设计或教学实施中的不周或缺失，进而从根源上把脉问题，采取针对性的补救措施，获得解决问题的良策。

如，在“三位数除以一位数”的教学中，我们经常能看到这样一种错误：824÷4=26。

遇上这种情况，一些教师往往会责怪学生粗心大意，“这么简单的问题都会做错，也不看看824是三位数，8百多除以4怎么会是二十几呢？明明是几百嘛”，但是却忘记了教师本身的使命所在，忘记了学生的表现还依赖于教师的教这一层面。笔者认为，教师需要从更深层次去解读自身的教和学生的学，从而把握这类问题的本源。

上述情况给我们的教学启示是：在“三位数除以一位数”的笔算教学中，教师不仅要讲解透算理、算法，而且要训练学生的口算、心算、估算等方面的能力，还要重视培养学生对除法计算结果的合理性评判的意识和能力。

为此，在教学实践中教师应有意识地训练学生对计算结果合理性的判断意识，指导学生多读题，多联想。就以案例中的“824÷4”为例，教师首先引导学生不要急功近利，忙着算出答案，而是先进行必要的估算，即824可以看成800，这样原题目就类似于“800÷4”，那结果会是多少呢？很明显，应该是200，据此推出824÷4的商必定是大于200的。其次，教师还得引导学生对答案的合理性进行检验，即如果824÷4=26是对的，那么就有26乘以4等于被除数的必然性，然而26×4的积是104，不是被除数824。当学生进行这样的验算后，矛盾就凸显出来了，这样的情况也就要求学生回过头来审视之前错误计算的每一步。当学生经历了结果合理性的评判过程，那么他的反思意识就会增强，他的运算能力也会增长。

从上述简单的案例中，我们不难看出：有效的计算教学，就是让学生学会自觉运用知识去评判、去反刍的过程，不能囿于“在规定的时间内完成相应数量的试题计算”的框架之中。要实现计算教学的务实高效的目标，教师就得做好学生自觉检验、主动反思的引导者，让学生在不同的训练中掌握最基本的算理、算法，以及验算策略，还得发展学生自我评判的学习意识，最终实现学生运算意识和计算能力同步发展的根本目标。

二、忽视计算原理正确性的体验

实践告诉我们，培养学生运算能力、发展学生运算意识的重点是使学生领悟算理、掌握算理，并灵活地运用算理正确进行运算。为此，教学中教师应把着眼点放在学生对算理的领悟上，把着力点放在对算理的应用上。教师一方面要善于引导学生认真审题，把握这类计算的特点，合理选择计算方法、规划计算过程;另一方面要不断引导学生反思算法应用的根据，明晰每一步的计算原理，最终让每一步的计算都合规合矩、有根有据。也只有这样，学生的计算才会愈加合理，相应的错误才会得到有效避免。

如，在“小数加法、减法计算”的教学中，像这样的错例是屡见不鲜的，如5.3-4=4.9，5.3+4=5.7等。

容易看出的是，这类错误的主要问题是把整数4等同于0.4，从而导致数位顺序错误，致使计算结果错误。一些教师往往把错误归咎为学生整数加减法思维定式的负迁移，或这一阶段常规练习过多而使学生形成的思维定式的负迁移。如在不断练习5.3-0.4，5.3+1.4，8.1-6.8，1.8+3.4等习题后，一些学生的脑海里就会留下“所有的小数加减法都是纯一位小数的计算”的印象，但他们却不知这类习题只是小数计算的一种变式。

为此，教师在教学辅导中就得深究错因根源，让学生说出自己的算理运用过程，进而进行甄别，帮助学生细化算理意义，吃透算理本质。如教师引导学生汇报5.3-4=4.9的口算过程，学生不自觉地就运用笔算方法来思考，把数字对齐，再进行加减。学生的交流，映射了整数加减法的基本算理，从个位起数字对齐就是做到数位对齐，久而久之，就形成“末尾对齐”的错误建构，在小数加减法中学生若仍然照搬这一计算方法，势必会导致计算结果出错。

为什么教师一直在强调的“小数点对齐”到学生那儿就烟消云散了呢？深究缘由，我们发现学生把数字对齐当成了数位对齐（这一算理，在很多整数加減法中是成立的），忽略了5.3-4是小数减法（其中4是特殊的小数，此时4为4.0）的实质，从而导致他们只是从外在的形式上浅层次地理解“末尾对齐”和“小数点对齐”，缺失了小数加减法的基本计算原理的心理认同，并对小数加减法算理“小数点对齐”即数位对齐的理解有偏颇。所以教师在教学中要重视这一种情况，要通过对5.3-4=4.9这一错误的讲解，让学生领悟小数加减法的本质，即“只有相同单位的数才能直接相加减”。

故而，教师引导学生深入解读5.3-4，5.3+4等计算中的算理，明晰5.3由5个一和3个十分之一组成，5.3-4的本质就是从5个一和3个十分之一中减去4个一，从而理解相关算理，让学生的计算学习更趋理性。

三、忽视运算规律灵活性的体验

运算律学习是学生灵活计算的重要依据。因此，在计算教学中教师应充分关注学生对运算律的领悟程度，从而引导学生学会多角度去分析计算题构成，进而找到最为便捷的路径让计算变得简便。然而，在实际教学中一些教师却热衷于题海训练，使学生也追求快速做题，导致学生面对一些较为特殊的试题时错误不断，进而兴趣缺失，学习迟缓。

如，“运算律”教学之中，学生面对简便计算的练习，常常会有如下表现：37×99=37×100-1，或65×101=65×100+1，或32×25×125=4×25+125×8等。

以上错误，表象上看是学生没有科学地把握乘法分配律，不能精确地运用乘法分配律造成的。并且，纵观学生的日常学习，他们能够较好地完成32×17+68×17，109×28-9×28等试题的计算，但一旦遇到稍加改变的试题就无所适从了，问题层出不穷。笔者认为，这不只是学生对乘法分配律的理解和运用的问题，更是对乘法分配律本质内涵理解不深刻、不透彻、不清晰的问题。

因此，在补救教学中，教师一方面要引导学生重温乘法运算律的由来，如尽可能地多呈现实例，以丰富学生的感知，拓展学习视野，从而让学生的学习理解走出个别归纳不全面、列举抽象不丰富等的圈子;另一方面要重视知识间的联系，以此来巩固学生对乘法运算律的理解，如联系乘法的意义来解析37×99，让学生明白37×99是99个37，而37×100是100个37。这是让学生思考，99个37和100个37之间到底相差什么。学生在这种情景下自然地获得37×99的本质理解，从而推断出37×99=37×100-37×1，明白先前计算错误的缘由。同理，若教师再顺势引导学生思考和研究65×101的算理，就可让学生对乘法分配律的领悟达到一个崭新的高度。另外，教师还可以创设生活化的情境，如提问“买99本字典，每本37元，一共需要多少元？”，让学生反刍37×99在乘法分配律中的算理，从而加速其学习认知的有效建构，这也会给学生留下难以磨灭的印象。

综合上述思考，笔者认为，教师要切实帮助学生发展和提升计算能力和运算意识，不能只是满足学生能够完成常规的计算题，还得设计与此相关的试题，以此来拓展他们的学习视野，促进他们的学习思考，从而帮助他们深刻理解计算的原理、运算律的由来等，以加速基本计算方法的建構，促使他们获得基本的计算经验和计算技能。同时，教师还得善于利用错题资源，强化计算方法的引领，促使学生学会对计算过程进行反思，学会自觉验算等，从而让计算教学更富灵气，更具智慧。