关于差分Riccati方程解的存在性

徐 玲，罗润梓，曹廷彬

（1.南昌大学数学系，江西 南昌 330031；2.江西科技师范大学数学与计算机科学学院，江西 南昌 330013）

1 引言及主要结果

复域差分方程理论的研究起始于十二世纪初。近十年多年来，随着差分值分布理论的建立和发展，差分Riccati方程引起学者的关注（如见文献［1-6］）。在2019年，Chen与Shon［7］证明了下面两个定理，推广和改进了［4］中相关结果。

定理A［7］设A、B、C、D为亚纯函数且满足AC≠0，AD-BC≠0。如果差分Riccati方程f（z存在至少三个互异的亚纯函数解其为亚纯函数f0（z）、f1（z）、f2（z），则方程所有解构成解簇

这里Q（z）为任意的复数或周期为1的亚纯函数，且当Q（z）≡0，则f（z）=f1（z）；当Q（z）≡-1，则f（z）=f2（z）。

定理B［7］设A、B、C、D为多项式且满足AC≠0，AD-BC≠0， 以 及 degC＞

本文目的是采用文［1］中相同方法，将上面结果推广到更一般的差分Raccati方程，得到下面的结果。

定理1 设q，c是两个非零的复数，设A、B、C、D为亚纯函数且满足AC≠0，AD-BC≠0。如果差分Riccati方程存在至少3个互异的亚纯函数解其为亚纯函数f0（z），f1（z），f2（z），则方程所有解构成解簇

这里Q（z）为任意满足Q（z）≡Q（qz+c）的亚纯函数。

定理2 设q、c是2个非零的复数，设A、B、C、D为多项式且满足AC≠0，AD-BC≠0，以及如果差分Riccati方程有一个有理函数解f0（z）满足则方程至多有两个互异的有理函数解。

2 引理

为了证明定理，我们先来证明2个引理，皆为［7］中引理的推广。

引理2.1 假设q、c、A、B、C、D如定理1中给定的。若f（z）是差分Riccati方程f（qz+c）=一个亚纯函数解，则C（z）f（z）+D（z）和C（z）f（qz+c）-A（z）都不恒为零。

证明 如果C（z）f（z）+D（z）≡0，那么这样显然D（z）不恒为零，否则f（z）就恒为零，代入差分Riccati方程得到B（z）≡0，从而有AD-BC≡0，这与条件矛盾。将f（z）≡代入差分Riccati方程，得到：

因而有C（qz+c）≡0，这与已知假设条件矛盾。

如果C（z）f（qz+c）-A（z）≡0，那么f（qz+将之代入差分Riccati方程，得到

化简得到，A（z）D（z）≡B（z）C（z），这与易知假设条件矛盾。证毕。

引理2.2 假设A0，A1都是非零亚纯函数。如果方程A1（z）g（qz+c）+A0（z）g（z）=0有一个非零亚纯函数解g0，那么方程所有解构成一个解簇H（g（z））=｛g（z）=Q（z）g0（z）｝，其中Q（z）是任意满足Q（z）≡Q（qz+c）的亚纯函数。

证明 假设g0（z）是方程A1（z）g（qz+c）+A0（z）g（z）=0的非零亚纯函数解。 令G（z）：=Q（z）g0（z），其中Q（z）是任意满足Q（z）≡Q（qz+c）的亚纯函数。则易知G（z）也是该方程的亚纯函数解。

现设g1（z）是方程的另外任意亚纯函数解，则根据方程得到

3 定理的证明

3.1 定理1的证明

根据引理2.1知道，C（z）f（z）+D（z）和C（z）f（qz+c）-A（z）都不恒为零。假设f0，f1，f2是差分 Riccati方程f（qz+c）=的3个互异的亚纯函数解。令，其中j=1，2。则u1与u2不恒等。将代入差分Riccati方程f（qz+c）=得到

即

由于f0是差分Riccati方程f（qz+c）=的一个解，则

将之代入上面方程可化简为，

前面已经根据引理2.1得到α1（z）：=C（z）f0（qz+c）-A（z）和α0（z）：=C（z）f0（z）+D（z）都都不恒为零。因此我们知道，u1（z）和u2都是方程

的亚纯函数解。因此f0（z）：=u1（z）-u2（z）是上述非其次线性差分方程方程对应的齐次线性差分方程

的非零亚纯函数解。现在根据引理2.2可知，这个齐次线性差分方程所有解构成解簇

其中Q（z）为任意满足Q（z）≡Q（qz+c）的亚纯函数。再由于u1（z）是上述非齐次线性差分方程的特解，所有该非齐次线性差分方程一般解为

现设f（z）是差分 Riccat方程f（qz+c）=的任意的异于f0（z）的亚纯解。则类似于上面证明可知也是上面非齐次线性差分方程的亚纯解。由上面可知，存在亚纯函数Q（z）且满足Q（z）≡Q（qz+c），使得

即得

因此我们证明了：差分Riccat方程f（qz+c）=的任意的异于f0（z）的亚纯函数解f（z）必为上述形式。

最后，我们需要证明：对于任意满足Q（z）≡Q（qz+c）的亚纯函数Q（z），形如

的任意亚纯函数f（z）必为差分Riccati方程f（qz+的解。显然，+f0（z），其中u（z）=是非齐次线性差分方程的一般解形式。显然，通过细致计算可以验证：对于非齐次线性差分方程的任意解u（z），亚纯函数f0（z）都是满足差分 Riccati方程f（qz+c）=的解。证毕。

3.2 定理2的证明

不妨假设方程具有三个互异的有理函数解f0、f1、f2，其中可知f0（z）可表示为两个多项式的商其中degh（z）≥degH（z）。 令2）。则u1（z）与u2（z）为两个互异的有理函数。将代入差分 Riccati方程类似于定理1的证明中化简得到

所以，uj（z）是非齐次线性差分方程

的有理函数解。 置u0（z）：=u1（z）-u2（z）。 则u0（z）为该非齐次差分方程对应的齐次差分方程

由于degC＞ max ｛degA，degD｝和 degh（z）≥degH（z），所以得到

而C（z）h（qz+c）P（qz+c）Q（qz+c）H（z）Q（z）与C（z）h（z）P（z）H（qz+c）Q（qz+c）Q（z）为两个相同次数的多项式且最高次数的系数相同，因此上述方程的左边不可能恒为零，矛盾。证毕。