预不变凸函数的Hermite-Hadamard型分数阶积分不等式的推广*

孙文兵，郑灵红

（邵阳学院理学院，湖南邵阳422000）

凸函数理论是一个古老的数学分支。近年来，由于最优化理论等学科越来越为人们所需要，因此凸分析理论受到众多专家和学者重视。凸函数理论在其深度和广度两方面都得到了发展，比如Weir 等［1-2］提出了预不变凸函数的定义，如下：

定义1 对于映射η：S × S →Rn，如果对于任意x，y ∈S 和t ∈［0，1］，x + tη(y，x) ∈S，则称集合S ⊆Rn是关于η的不变凸集。

定义2 令S ⊆Rn是相对于η：S × S →Rn的不变凸集。如果对于任意x，y ∈S和t ∈［0，1］，有

那么，函数f：S →R是关于η的预不变凸函数。函数f是预不变凹的当且仅当-f是预不变凸的。

注1在式（1）中取η(x，y) = x - y时，f便是一个经典凸函数。

1 背景知识

凸函数在证明不等式方面起着积极的作用，如Jensen首先提出如下不等式：

如果对任意的x1，x2∈［a，b］，函数f在区间［a，b］上是Jensen意义下的凸函数，那么有

成立，函数f称为J凸函数，相反地，当不等式进行反向时，函数f为J凹函数。

Hermite和Hadamard分别对Jensen不等式进行了均值插值得到以下我们所熟知的Hermite-Hadamard 型不等式：

若f：I ⊆R →R是一个凸函数，a，b ∈I且a < b，那么有如下不等式成立：

近年来，许多研究者对Hermite-Hadamard 型积分不等式进行了推广和完善［3-6］。预不变凸函数的定义提出以后，Hermite-Hadamard不等式与预不变凸函数相结合的研究结果也开始出现［7-10］。

Dragomir和Agarwal［6］证明了如下不等式：

2 主要结果及证明

引理1 令A ⊆R 是一个关于η：A× A →R 的开的不变凸子集，且a，b ∈A，a < a + η(b，a)。设f：A →R是区间(a，a + η(b，a))上的可微映射，且f ′∈L［a，a + η(b，a)］，0 < λ ≤1，α > 0，则以下关于Rie⁃mann-Liouville分数阶积分的恒等式成立：

证明 推论8中取α = 1，令a + tη(b，a) = x可得结论成立。