基于响应灵敏度法的时滞系统参数识别*

吴蓉，刘济科，吕中荣，汪利

（中山大学航空航天学院，广东广州510006）

时滞系统是一类存在时滞现象的特殊系统，体现在系统过去某一段时间的状态对系统当前状态的影响存在一个时间上的滞后。时滞系统普遍存在于各类自然、社会和工程实际之中，比如：力学、机械学、生态学、医学和经济学等，对时滞系统动力学的研究有利于促进这些应用领域的发展［1］。时滞系统的数学模型是时滞微分方程，不同于由偏微分方程描述的动力学系统，它是一类泛函微分方程［2］。确定一个时滞系统，即要确定时滞微分方程的参数。因此，参数未标识或标识不完全的情况下，时滞系统的参数识别是应用和分析时滞系统的重要准备工作。

时滞系统的参数识别问题是一类复杂的反问题，与一般微分系统的参数识别方法思想类似，该问题可转化为一个非线性最小二乘优化问题。基于灵敏度分析的模型修正法是一种常用的参数识别方法，可较好地与Tikhonov正则化结合，且便于引进修正参数的置信域区间，以求解参数识别方程的非线性最小二乘优化问题［3］。本文利用测量动力响应数据作为测量数据，同时考虑时滞系统的特性，采用响应灵敏度法进行了一个简单时滞系统的参数识别。算例表明，响应灵敏度法能较好地识别时滞系统的参数且具有一定的抗噪能力。

1 问题描述

1.1 时滞系统

一般地，时滞系统由如下的时滞微分方程给出

其中，x=［x1， x2， …， xn］T表示n 维系统响应，τ表示时滞参数，ai（i=1，2，…，m）是一般系统参数，t0代表初始时刻，x0（t）则是给定初始值时刻之前的解，为已知函数。当F（·）关于x(t)，x(t - τ)是线性时，该系统为线性时滞系统。

时滞微分方程相比于一般微分方程具有更复杂的性质。一方面，系统在平衡点附近的线性近似系统的特征方程由一般的有限次多项式代数方程变为超越方程［4］，有无穷多个特征根，解空间也成为无限维，需要数值方法进行求解；另一方面，要保证线性时滞微分方程的稳定性，方程的所有（无数个）特征根全部都要具有负实部，这就意味着线性时滞系统的稳定性更为复杂［5］。本文将使用MATLAB 软件中的dde23函数对目标时滞微分方程（1）进行数值求解。

1.2 反问题的定义

2 响应灵敏度法识别时滞系统参数

2.1 时滞系统灵敏度分析

对于式（2）的极小值问题，一般采用迭代优化的方法进行求解。而迭代法的关键在于如何在已有参数结果-a的基础上快速找到合理的更新值δa使得g(-a + δa)尽可能地小。将R̂在-a 处进行一阶泰勒展开并取其线性部分进行近似，则非线性目标函数（2） 近似转化为如下线性最小二乘函数。

而，系统响应x（t）关于时滞参数τ 的灵敏度则应满足

2.2 响应灵敏度法

式（3）中所得的线性最小二乘目标函数可直接求得最小值，为改善反问题求解的适定性，可采用正则化方法，Tikhonov 正则化［7］是一种常见的正则化方法。

确定合理的置信域半径η，使得相应的更新量δa满足一致性条件（12），这即为置信域约束。至此，响应灵敏度法可列出具体的算法，实现步骤如表1。

3 数值算例

考虑一个机械元件加工时常见的颤振方程［4］，是一个单自由度系统的线性时滞微分方程：

表1 响应灵敏度法的具体步骤Table 1 Procedure of response sensitivity approach

真 实 参 数 值a =(-17.6π2，- 0.4π2，1.6 π2，0.5)的系统，噪声水平分别为0、2%、5%和10%时所测得的加速度响应如图1所示。

图1 不同级别测量误差下测得的加速度响应图Fig.1 Acceleration response of example 1 under different noise level

固定参数a1=(-17.6π2，- 0.4π，1.6π2，0.5）的系统，分别按式（7）灵敏度方程和差分法计算时滞参数T 的灵敏度，结果见图2。两种方法的计算结果十分吻合，证明了时滞参数灵敏度方程的正确性。图2 中，时滞参数T 的灵敏度在［0，0.5］的区间上恒为零，说明要能够识别时滞参数，测量数据的采样时间长度必须大于时滞参数。

图2 加速度响应对时滞参数T的灵敏度（T=0.5），Fig. 2 Diagram of sensitivity to delay parameter T

固定测量数据误差水平为2%，考虑4 种初值情况，由响应灵敏度法计算的参数识别结果见表2。不同的初始参数下，参数识别结果基本一致，最大相对误差为1.23%，最大迭代步为102。也就是说，对于该系统响应灵敏度法精度高且收敛快。

固 定 初 始 参 数a1=(-16π2，- 0.3π，π2，0.4)，考虑4 种噪声水平0、1%、5%和10%，由响应灵敏度法计算的参数识别结果见表3。在10%的最大噪声水平下，最大相对误差为1.89%，最大迭代步为36。

表2 不同初始值的参数识别结果（2%噪声）Table 2 Identification result of different initial values under noise level of 2%

4 结 论

基于灵敏度分析，结合Tikhonov正则化和置信域约束，将时滞系统的参数识别反问题转化为一个标准的非线性最小二乘优化问题，提出一种基于响应灵敏度法的时滞系统的参数识别方法，并对一个单自由度的线性时滞系统模型进行参数识别数值分析，结果表明：采样时长必须大于时滞参数才能成功识别时滞参数；响应灵敏度法能在一定的初值范围内得到准确的参数识别结果；即使在10%的噪声水平下，响应灵敏度法仍能正确地识别时滞系统的参数，具有较好的抗噪性；针对该算例，响应灵敏度法精度高、收敛快、有较好的鲁棒性。