非线性数学期望的一些性质研究*

黄安琪，周津名，纪荣林

（1. 对外经济贸易大学国际经济贸易学院，北京100029；2. 安徽大学数学科学学院，安徽合肥230601；3. 合肥师范学院数学与统计学院，安徽合肥230601）

期望效用理论是现代数理经济学的基石，但是诺贝尔经济学奖获得者Allais 所提出的著名的Allais 悖论使得期望效用理论受到了很大的挑战。相关研究表明基于线性数学期望的线性性是导致Allais悖论的主要原因，由此学者们致力于在非线性数学期望框架下研究经济和金融问题。1990 年，山东大学彭实戈院士原创性地获得了一般形式的非线性倒向随机微分方程解的存在唯一性结果［1］。进一步地，彭实戈院士通过一类特殊的倒向随机微分方程的解引入g-期望和条件g-期望的概念［2］。2002年，Coquet-Hu-Mémin-Peng 提出了信息流相容的非线性数学期望的公理化定义，进而研究了该类非线性数学期望与g-期望之间的联系［3］。2008 年，彭实戈院士在次线性期望框架下，研究了多维G-布朗运动及其相关问题［4］。关于非线性数学期望及其相关问题的研究请参阅文献［5-13］等。

为了克服金融风险度量工具VaR的先天性缺陷，Artzner-Delbaen-Eber-Heath［14］通过公理化假设的方式开创性地引入了一致性风险度量的概念。随后，Föllmer-Schied［15］和Frittelli-Rosazza Gianin［16］分别独立地提出凸风险度量的概念。Rosazza Gianin［17］将g-期望理论与公理化的风险度量理论建立了联系。进一步地，在g-期望理论基本框架下，Jiang［18］系统性地建立了g-期望理论及其诱导的风险度量之间的内在联系。

受文献［18］研究启发，一个自然的问题是：在公理化假设的基本框架下，非线性数学期望与金融风险度量之间的内在联系如何？在文献［4］关于非线性数学期望的公理化框架下，本文致力于研究次线性期望（超线性期望）与一致性风险度量之间的对应关系；进一步地，探索凸期望（凹期望）与凸风险度量之间的内在联系。

1 预备知识

设(Ω，F，P)是完备的概率空间，记L1(Ω，F，P)为可积的随机变量全体。我们引入文献［4］中关于非线性数学期望的相关定义，如下：

定义1 称实值泛函ε：L1(Ω，F，P) ↦R为非线性数学期望，若其满足：

（i）保常数性：ε［c］= c，∀c ∈R；

（ii）单调性：ε［X］≥ε［Y ］，若X ≥Y。

定义2 称非线性数学期望ε为次线性期望，若其满足：

（i）次可加性：ε［X + Y ］≤ε［X］+ ε［Y ］；

（ii）正齐次性：ε［λX］= λε［X］，∀λ ≥0。

类似地，根据文献［8，10］，我们引入超线性期望、凸期望和凹期望的公理化定义，如下：

定义3 称非线性数学期望ε为超线性期望，若其满足：

（i）超可加性：ε［X + Y ］≥ε［X］+ ε［Y ］；

（ii）正齐次性：ε［λX］= λε［X］，∀λ ≥0。

定义4 称非线性数学期望ε为凸期望，若其满足：

凸性：ε［λX +(1- λ)Y ］≤λε［X］+(1- λ)ε［Y ］，∀λ ∈［0，1］。

定义5 称非线性数学期望ε为凹期望，若其满足：

凹性：ε［λX +(1- λ)Y ］≥λε［X］+(1- λ)ε［Y ］，∀λ ∈［0，1］。

接下来，我们引入文献［17］中金融风险度量的相关公理化定义，如下：

定义6 称ρ：L1(Ω，F，P) ↦R为一致性风险度量，若其满足下述性质：

（i）单调性：若X ≥Y，则ρ(X) ≤ρ(Y)；

（ii）平移不变性：ρ(X + c) = ρ(X) - c，∀c ∈R；

（iii）次可加性：ρ(X + Y) ≤ρ(X) + ρ(Y)；

（iv）正齐次性：ρ(λX) = λρ(X)，∀λ ≥0。

定义7 称ρ：L1(Ω，F，P) ↦R为凸风险度量，若其满足下述性质：

（i）单调性：若X ≥Y，则ρ(X) ≤ρ(Y)；

（ii）平移不变性：ρ(X + c) = ρ(X) - c，∀c ∈R；

（iii）凸性：ρ(λX +(1- λ)Y) ≤λρ(X) +(1- λ)ρ(Y)，∀λ ∈［0，1］；

（iv）标准化：ρ(0) = 0。

2 主要结果

定理1 设ε为L1(Ω，F，P)空间上的实值泛函。令ρ(X) = ε［-X］，X ∈L1(Ω，F，P)，则以下陈述等价：

（i）ε为次线性期望。

（ii）ρ为一致性风险度量。