数学抽象思维在问题解决中的应用

党思萌

(河南大学数学与统计学院，475000)

数学的特点是抽象性、严谨性和广泛的应用性．数学在本质上研究的是抽象的东西,因此可以推断数学的发展所依赖的最重要的基本思想也就是抽象，因为只有通过抽象才能得到抽象的东西．史宁中指出,为了把“抽象”这个数学最基本的思想讨论清楚，就必须涉及“数学概念存在形式”这样的问题，因为数学概念的存在形式决定了数学概念的获得形式，从而决定了数学抽象的本质.抽象能力就是将直观能力应用于对事物的抽象,抽象能力的养成依赖于经验[1]．

利用数学抽象思维进行问题解决，不仅要全面把握概念、命题等知识,还要掌握最基本的数学思想方法．而数学思想方法则是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点,在认识活动中反复运用,有普遍指导意义,是建立数学和数学问题解决的指导思想．本文从几种数学抽象方法入手,来探讨数学抽象思维在问题解决中的应用．

一、性质抽象方法应用于问题解决

性质抽象是考察被研究对象某一方面的性质或属性而抽取量性方面的性质或属性的抽象方法．它是形成概念的重要途径,将事物反映其内涵的性质抽象出来,用词语概括,形成概念．而在解题过程,性质抽象同样可以发挥重要作用,例如著名的哥尼斯堡七桥问题,就是首先将实际的桥、岛,进行性质抽象成点、线．

例1 (六人集会问题)在六个人的集会上,总有三人互相认识,或互不认识．

解只需考虑三种情况:其中某人与其他五人都认识;其中某人与其他四人都认识;其中某人与其他三人都认识．用图示意，如图1.

情况(1)中,若2,3,4,5,6间互不认识,则结论成立;若2,3,4,5,6间至少两人认识,结论也成立．

情况(2)中,若2,3,4,5间互不认识,则结论成立;若2,3,4,5间至少有两人认识,结论也成立．

情况(3)中,若2,3,4间互不认识,则结论成立;若2,3,4间至少有两人认识,结论也成立．

评注这种解法是对题目描述内容进行抽象化.用点表示人,用线段表示其关系,实线表示认识的关系,虚线表示不认识的关系.将人抽象成点,是否认识抽象成实线段或者虚线段的方法，也就是性质抽象方法的应用．这样就将题目的文字表述抽象为符号表示,通过分类讨论的数学思想方法,建立模型,使题目便于分析．此题使用以性质抽象、分类讨论的数学方法,以推理判断的形式来表述推导结果的数学抽象思维,成功地解决了问题．

二、 关系抽象方法应用于问题解决

关系抽象指根据认识目的,从研究对象中抽取或建构若干构成要素之间的数量关系或空间位置关系而舍弃其他无关特征或物理现实意义的抽象方法．在处理问题过程中经常用到,有时解题的关键就在于一个关系的抽取或建构．

例2(第39届IMO试题)设x,y,z是正数,且xyz=1,证明:

证明可猜想得x=y=z=1时,不等式等号成立,这时

将以上三式相加，得

评注解决这个问题关键之处在于利用基本不等式等号成立的条件进行猜想,并且通过观察不等式的特点三次方,通过配项使用基本不等式抽象出单个式子的不等关系,再进行相加得到目标要证明的不等式．这在解题中可与构造法相联系,构造法在解决问题过程中可以将抽象问题具体化,复杂问题简单化,通过构造得到问题中的数量关系和空间位置关系,以便更好地解决问题．

三、 等置抽象方法应用于问题解决

等置抽象是按照某种等价关系,抽取一类对象共同性质特征的抽象方法．

例3求(25733+46)26被50除的余数．

解(25733+46)26≡(733-4)26

=[7·(72)16-4]26≡[7·(-1)16-4]26=(7-4)26=326

=3·(35)5≡3·(-7)5

=-3·7(72)2≡-21≡29(mod 50).

即所求余数是29.

评注在初等数论中,同余关系是建立在整数系统上的等价关系．上题使用等置抽象的方法将求解巨大难解数字的余数转换成求29被50整除的余数,使问题简单明了．

四、 无限抽象方法应用于问题解决

“无限”概念是数学的一个重要概念,我们称涉及无限概念的抽象为无限抽象．有两种理解方式来理解无限．第一,把“无限”看成是永远在延伸着的、处在构造中的东西或变化过程；第二,即把无限的东西的整体本身作为一个实在的对象来考虑,看成已经构造完成的东西．数理哲学上,前者称为潜无限,后者称为实无限．

-lni．

所以n∈N*,n≥3时,

五、 强抽象与弱抽象方法在问题解决中的应用

弱抽象是由原型中抽取其某一方面的特征或侧面加以概括,从而形成比原对象更为一般的概念或理论的一种抽象方式．强抽象是指通过强化对象的特征,即增加对象的新特征来完成抽象建构,以形成新概念或模式的抽象方式．

例5设a,b,c,d,e都是正整数,且满足a+b+c+d+e=abcde,求e的最大值．

解由条件等式的对称性,不妨设

a≤b≤c≤d≤e．

由题设,有

即de≤3+d+e,(d-1)(e-1)≤4．

下面分两种情况讨论.

(1)若d=1,则由排序假设,有a=b=c=d=1,从而4+e=e,这是不可能的．

(2)若d>1,则e-1≤4,即e≤5．而当e=5时,容易找到满足条件的一组a=b=c=1,d=2,e=5,即e=5是可能的．

则e的最大值是5.

评注解决这个问题的关键在于对5个正整数进行排序,将原来问题进行特殊化,也就是相当于增加研究对象的新特征进行抽象建构,采取强抽象的方法处理题目,使不等式便于放缩,使问题得解．

例6试证1733>33!

于是令n=33,得1733>33!．

评注此题通过对17与33之间存在的特殊关系一般化,通过弱抽象抽象出更为一般的命题,再对更一般的命题证明，从而解决问题,这不仅需要学生掌握弱抽象的方法,也需要学生具有举一反三的能力．

强抽象和弱抽象与一般化与特殊化的解题方法联系紧密,在多数场合,特殊问题更直观便于把握,但有时候一般化的问题反而更容易解决,这依赖于学生已有的认知结构和知识水平,解题过程中要灵活运用强抽象与弱抽象,把握本质,成功解决问题．

问题是数学的心脏.数学抽象思维贯穿于数学学习的过程中．如上所述，数学抽象思维在问题解决过程中的重要性也可通过这些例题的讨论得到侧面印证．数学问题的成功解决不仅需要数学抽象逻辑思维,也需要直觉感知等非逻辑思维,需综合把握．而数学抽象逻辑思维显然是可以通过训练不断提高的,通过运用数学抽象方法,进一步提高数学抽象思维能力,从而提升数学抽象核心素养,学会用数学的眼光看世界．