让思维可见 促思维成长

摘要：聚焦学生在数学学习中思维的发生、发展与表达过程，结合具体的教学实践，阐述了在数学课堂中让学生思维可见的着眼点以及教学路径和方法，并有效利用学生数学思维过程中的生成性资源，探寻学生数学思维的发展点，促进学生的思维向更高层次生长。

关键词：数学思维;思维起点;思维过程;思维成长

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2020）12A-0069-04

所谓“让思维可见”，是指教師通过一定的教学路径和方法，参与到学生思维的发生、发展与表达过程中来，让学生的内隐性思维外显。借助可以“看得见”的数学思维，教师可以深入了解学生的思维脉络，能够循着学生的思维轨迹开展数学教学活动，提升学生的思维品质。

一、明晰让思维可见的着眼点

1.思维的起点可见

思维的起点，简单地说，就是指学习和认知新的知识时已有的相关知识与能力[1]，即本来的、最初的、原始的思维状态。学生是带着各自独立的前认知背景投入新知学习的，正如教育心理学家奥苏泊尔所说，“影响学习最重要的因素是学习者已经知道了什么。”杜威在《我们如何思维》一书中指出：“思维的缘由是遇到了某种困惑或怀疑（总是要有某样具体事物来引发和激起思维）。”[2]郅庭瑾的《为思维而教》中谈道，“思维始于问题”[3]。面对新的问题情境，学生的原始思维是怎样的呢？让学生思维的起点可见，这样教师才能顺应学生的思维渐进引导，让学生在原有思维的基础上产生新的、更准确的思维路径。

例如教学苏教版小学数学四年级下册“用数对确定位置”一课，学生学习本课之前，在日常生活中或多或少积累了一些描述物体所在位置的经验。为了调动学生的原有经验，教师创设了“找找我的好朋友”游戏情境，并提出数学问题：你能用自己想到的方式把最好的一个朋友在这间教室的位置写下来吗？学生用多种多样的表述方法写出了好朋友在教室中的位置，教师将学生的几种典型原始思维一一呈现，引导学生在猜谜的过程中发现：光凭一个方位词不能准确判断出好朋友的位置;没有说清数的方向，就会有不同的可能;观察的角度不同也会带来争议。那么确定位置到底蕴藏着怎样的学问？为了统一表达方式，避免争议，又有哪些人为的规定呢？这一困惑立刻激起学生新的思维，引发学生用一致的标准表示位置的需要，于是学习新知识的兴趣和动力自然发生。

2.思维的过程可见

思维包括分析、综合、比较、抽象、概括、判断和推理等基本的过程。数学教学不仅要关注学生应该学到什么，还要重视他们是怎样学到的[4]，即要展现学生数学思维的过程，培养一种关注事物发展和变化过程的思维习惯。成尚荣先生在《教学律令》一书中指出，“教师不仅要看得见学生的学习状态、学习方式，而且要看得见学生的思维方式、思维过程”[5]，而“‘看得见，就是要让儿童的学习过程，包括思维过程暴露出来”[6]。

仍以“用数对确定位置”一课为例。数对其实是一种约定俗成的数学符号，我们当然可以采取简单告诉或让学生用自学的方式了解“教室中小军的位置是‘第4列第3行，用数对表示是（4，3）”，但这样的话，学生就很难体会到数学符号发展的过程。对于数学规定，我们不应只看到它的历史规定性，更应看到其源头闪烁着人类的自由思维[7]。那么第4列第3行更简洁的写法是怎样的呢？学生经过自主思考、小组交流，陆续得出以下8种简洁的写法：①4列3行 ②4—3③4，3 ④4 ：3 ⑤4L3H ⑥4↑3→ ⑦4 ;3 ⑧列4 行3。在教师的引导下，学生参与创造符号的过程，呈现了宝贵的过程性思维。在经历了个性化地用符号表示到筛选统一的思维过程，学生等于走了一遍数学家研究的道路，他们的认知会得到升华，形成良好的学科感受。

3.思维的成长可见

关注学生思维的起点和思维的过程，最终目的是看得见学生思维的成长。笔者认为思维的成长就是在解决问题及形成和掌握概念的过程中，学生思维的变化和提升。正如哈佛大学教授爱莉诺·达克沃斯的观点：“教学，不是教知识，而是让学生建构观念，诞生精彩的观念”[8]。可以说，精彩观念诞生的过程就是思维成长的过程。

例如教学苏教版小学数学五年级上册“怎样围长方形面积最大”一课，第一个问题情境是农民伯伯王大叔面临的困惑：用22根1米长的木条围一个长方形花圃，怎样围面积最大？理解题意后，教师先请学生独立思考，将自己的想法写在学习单上。教师留心观察学生的完成情况，发现学生呈现出了多个层次、不同水平、异常丰富的思维过程：有用画木条的方式来思考的简单直观型思维;有直接将22拆分成两个数相乘的概念不清型思维;有只想到一两种围法的片面型思维;也有能一一列举、有序思考，甚至直指规律的高水平思维。如小孙同学一开始列了几组算式，后来又列表进行了梳理，学习单上有明显的修改痕迹。她说道：“我先用22除以2，算出一条长和一条宽的和是11，然后我想了一下，5加6等于11，4加7也等于11，而5乘6得30平方米的面积更大一些。但是我感觉这样算有点混乱，于是我想到用列表的方法，先按照顺序把所有的可能性都列出来，接着通过比较就能发现当长是6米、宽是5米时面积最大，这样就更加清晰了。”小孙刚说完，同学们纷纷鼓起掌来。瞧，学生依靠自己在经验中的摸索、体悟和积累，思维在成长，而通过生生、师生间进一步的对话交流，那些起初思维不够清晰的学生能够体会到什么方法对解决这一题是有效的，有序思考、一一列举的策略有怎样的价值，从而逐渐掌握应该怎样，优化自己的思维方式。

二、让思维可见的有效策略

要透过大脑这一“黑匣子”，让学生的思维可见，我们就需要充分激活学生的多重感官，参与思维的发生、发展与表达的过程中来，让思维物化地留下痕迹。

1.说出来，借助语言让思维可见

语言是思维的外壳，是思维最本质的工具。以问题引领学生独立思考，当其在对话的过程中引导学生将自己的想法说出来，这样既给了学生展现思维的机会，也给了教师了解学生思维水平、方向和动态的机会。

例如教学苏教版小学数学五年级上册“钉子板上的多边形”，这节课要引领学生沿着数学家皮克的探究足迹，感悟“有史以来最重要的100个数学定理之一”——皮克定理（即钉子板上多边形的面积和钉子数之间的关系）。课前学生结合学习单已经进行了初步的研究，因为学习单上提供的四个多边形内部钉子数只有1个，所以学生主要关注的是多边形的面积与多边形边上钉子数之间的关系。经过小组交流、全班汇报，上课不到十分钟，学生就概括出了规律：多边形的面积是多边形边上钉子数的一半。教师适时抛出了问题：“看来咱们已经得出规律了，皮克定理挺简单的嘛！你有什么想法？”短暂的静默后，学生陆续举起手来，一位学生说：“仅凭这四个钉子板上的平面图形就能够证明所有钉子板上的平面图形都符合这个规律吗？”还有学生提出：如果这么容易得出来的话，那皮克定理怎么能称得上是“有史以来最重要的100个数学定理之一”呢？于是，这些精彩的发言引发了新一轮的验证、探究活动，也将大家的思维进一步引向深入。

2.画出来，借助表象让思维可见

表象是感知到思维过渡的重要环节和桥梁。借助画图表征抽象的思维，让内隐的思维活动外显，不仅是简单易行的方法，也为教师更好地“观察”学生的思维提供了有力支撑。

例如教学苏教版小学数学三年级下册“小数的初步认识”时，由于学生在日常生活中已经积累了不少关于小数的感性经验，所以教师直接引导学生用直观图表示出对一位小数0.1意义的理解，并提出画图要求：“现在规定一张正方形纸用数‘1表示，那么0.1有多大呢？请在这张正方形纸上画出来。”学生们呈现出了不同的表征方式：有的学生凭感觉在正方形纸上分出了大概的一小块;有的学生将正方形平均分成了4份，涂色表示出了其中的1份（显然，这一块太大了）;更多的学生将正方形纸平均分成10份（分法略不同），其中1份的大小就是0.1。透过小小的示意图，教师可以“看到”学生对0.1的初步理解。画出来，使头脑中的表象得以视觉化，不仅折射出学生不同的思维水平，而且为教师了解学生的思维现状，进而做出有针对性的引导提供了有力的支撑。

3.做出来，借助操作让思维可见

现代教学论主张：要让学生动手做数学。动手操作与实践，可以帮助学生多种感官参与学习，展现其内部的思维过程，使教师有机会探寻学生的思维轨迹，优化学生的数学思维发展路径。

例如，苏教版小学数学四年级下册“多边形的内角和”一课重在让学生经历探索和发现规律的过程，积累基本的数学活动经验。依托学生的认知起点“三角形的内角和”，他们首先体会到探索多边形内角和的规律应从四边形入手比较好。那么怎样求四边形的内角和呢？教师引导学生通过动手操作进行研究。多数学生能借鉴三角形求内角和的经验，用测量法（量出每个角的度数，再相加）和撕拼法（撕下四个角，拼在一起形成一个周角）求出四边形的内角和是360度。还有的学生能从特殊联想到一般，即由长方形和正方形的内角和是360度推想到所有四边形的内角和都是360度。更有学生找到四边形和三角形内角和之间的联系，把四边形沿对角线分成两个三角形，就把四边形的内角和，转化成求两个三角形内角和的问题了。这种方法不仅有所创新，更是抓住了探索多边形内角和规律的主旨。不同的做法，折射出的恰是学生不同的思维路径和水平，教师可以组织学生将几种做法进行对比，在交流、比较中寻求较好的方法，在相互借鉴、分享、学习的过程中，提升自己的认知和思维水平。

三、有效应对学生思维过程中的问题

在思维可见的数学课堂中，教师发现学生呈现的思维有时是独特的、令人印象深刻的、闪闪发光的;有时却是不成熟的、充满困惑的，甚至错误的。而且越是在充分尊重学生思维的课堂上，思维过程中的问题越是频繁出现，常常令教师措手不及、勉强应对。其实这些思维中的偏差往往蕴藏着闪光点，是非常宝贵的课堂生成性资源。我们应当有效利用这些有价值的生成性资源，把学生思维过程中的问题转化成新的教学契机，使之成为促进学生思维发展的生长点。

1.在思维模糊处，耐心倾听

思维模糊是指思维主体在思维的过程中，对基本的概念、规律或知识的本质没有准确掌握，造成思维不清晰，思考不透彻。例如：在计算-3×4=（ ）时，班里几乎所有学生的答案都是-12，唯独一个学生的得数是9，引起全班同学的哄堂大笑。在教师的鼓励下，这个学生大胆地阐述了自己的想法，他是根据数轴思考的（如图1）：-3×4就是4个-3，-3“翻四个跟头”不就到9了吗？

案例中的学生能够想到用数轴来理解算理，展现了优越的直觀性思维。教师首先应肯定他借助数轴理解算理的方法是可取的，然后继续追问：“现在我们就用数轴来思考，大家觉得这位同学的想法对吗？”从而引导学生明晰负数的本质：负数是比0小的数，在数轴上，负数应该在0的左边。-3×4就是4个-3，-3的确要“翻四个跟头”，但不能从-3起往右翻，而应该从0起往左翻，计算的结果自然是-12了。这样，学生的思维就能从模糊逐步走向清晰。

当学生出现思维模糊的时候，教师不要着急，更不要武断地把结论直接告诉学生，而是应该耐心倾听学生的思路，让学生的思维可见，而后循着学生的思路进行分析、讨论、交流，让学生自己找到问题所在。

2.在思维冲突处，巧用争论

思维冲突是指双方对同一事物有不同看法、不同理解和不同态度，在认知上出现了矛盾，甚至出现了对立。这种冲突主要体现在课堂的交流互动中，教师要善于利用学生的思维冲突，把它用作调动学生积极思维的催化剂。

例如，“认识平行四边形”一课，怎样证明平行四边形的对角相等，引发了两个学生的争议。女孩认为只要把平行四边形的两个对角剪下来拼在一起，两角重合就能说明平行四边形的对角相等。男孩则认为女孩必须保证剪下来的部分形状完全相同，如果剪下来的一边大一边小，怎么可能相等呢？双方各执己见，争持不下。此时，教师没有做任何评判，而是把两个人争论的问题抛给更多的学生：“大家觉得比较平行四边形的两个对角，我们究竟要比哪里呢？”学生深入地研究和思考，明确了角的大小与两边张开的大小有关，与边的长短无关，所以剪下来的部分形状可以不相同。这样，借助思维认知的冲突点就可以帮助学生对角的概念有更清晰的认识。

3.在思维定式处，对比辨析

思维定式又称“习惯性思维”，是指学生按习惯的、比较固定的方式去认知事物或作出行为反应。消极的思维定式把学生的思维禁锢在原有的知识范围内，不能深入认识事物的本质，阻碍了思维的发展。

例如，教学四年级下册运算律和简便计算的内容，练习中有这样两道题：25+75×3和360÷9×4。很多学生不约而同地写出了如下的计算过程：

25+75×3360÷9×4

=（25+75）×3 =360÷（9×4）

=100×3 =360÷36

=300  =10

可以说，学习这一单元后，学生头脑中“简便运算”的意识特别强，不少学生只注重简便运算的表面形式，或者只关注到其中两个数能凑整，而忽视了题目本身是否具备使用运算律或运算性质进行简便运算的特征。教师可以将学生正确的和错误的做法放在一起，并提问：“你赞同哪一种计算方法？请说明理由。”引导学生在对比、辨析中明确：在进行计算时，首先要观察这道题的特点和运算的顺序，不能盲目简算，从而突破消极的思维定式，促进思维向更高层次生长。

郅庭瑾在《为思维而教》一书中说道：“思维本身就是一个不断提问、不断解答、不断追问、不断明朗的过程。”[9]教师如果能及时捕捉并充分利用学生思维过程中的生成性资源，将问题重新抛给学生，搭建对话的平台，来引发学生进一步的思考和辨析，就能促进学生思维的发展，令思维之渠畅清。

参考文獻：

[1]吴成强.提高思维起点，突破思维瓶颈[J].中小学数学（高中版），2018（9）：8.

[2]约翰·杜威.我们如何思维[M].北京：新华出版社， 2010：11.

[3][9]郅庭瑾.为思维而教[M].北京：教育科学出版社， 2007（2）：145，145.

[4][7]王林.小学数学课程标准研究与实践[M].南京：江苏教育出版社，2011：251，115.

[5][6][8]成尚荣.教学律令[M].上海：华东师范大学出版社， 2018：105，11，前言.

责任编辑：李韦

Make Thinking Visible and Promote Thinking Growth

Kang Qian

（Damalu Primary School， Xuzhou 221000， China）

Abstract： Focusing on the occurrence， development and expression process of students' thinking in mathematics learning， combined with specific teaching practice， this paper expounds the focus， teaching paths and methods of making students' thinking visible in mathematics classrooms， and effectively utilizes students' generative resource to explore the development points of students' mathematical thinking and promote the growth of students' thinking to a higher level.

Key words： mathematical thinking; starting point of thinking; thinking process; thinking growth

*本文系江苏省教育科学“十三五”规划2018年度课题“构建‘自主开放，思维可见的数学课堂研究”（D/2018/02/166）阶段性成果。

收稿日期：2020-10-15

作者简介：康倩，徐州市大马路小学（江苏徐州，221000），高级教师。