例谈高中数学教学中的数形结合思想

李艳玲

摘 要：数学基础知识与数学思想方法贯穿于数学教学之中，是长期的数学发展所积累下的精髓。基于此，本文结合高中数学教学特征，对如何挖掘和渗透数形结合思想方法以及指导学生理解和运用做简要分析。

关键词：高中数学;数形结合;数学思想方法;渗透

数形结合思想是高中阶段数学知识中最基本的思想方法之一。教师应根据学生的实际认知水平和特点，来选择恰当且有效的方法完成数学思想的渗透。长此以往，促进学生内在掌握知识与方法的迁移，使数学素养在潜移默化中得以提高。

一、数形结合思想的渗透原则

（一）等价性

代数的性质在于其与几何图形之间产生转化关系时，必须要双方相等，这样才能够使最终数量关系呈现出一致性。而具体地无论是在作图还是计算方面都要精准无误。例如，解方程x3（1）=2sinx有（）个实根，分别给出了“3、5、7、9”这四个选项。如果作y= x3（1）和y=2sinx的图像，由于两个函数均为奇函数，所以只需要作x≥0的部分即可。即∵当x>8时，x3（1）>2≥2sinx∴只需要取[0，3π]上这一段即可。从图像中还可以发现，除了原点之外有3个交点，再根据奇偶性还可以得到其余7个交点的所在位置，故答案为7。从解题过程中可以发现，在解题时没有遵循等价性的数转形原则而导致了错误，其实当x=8（1）时，（8（1））3（1）=2（1）>2×8（1）>2sin8（1），因此，在[0，2（π）]内还有一个交点，所以正确答案是9。

（二）双向性

代數的抽象性与几何图形的直观性是二者最显著的特点，那么在将这二者进行相互融合时就需要利用到代数运算的精确性与几何图形的结构特点，二者相互融合便是数形结合思想的体现。例如，假设变量x，y满足x+2y-5≤0，x-y-2≤0，x≥0这三个约束条件，那么目标函数z=2x+3y+1的最大值是多少？四个选项分别为11、10、9、8.5。接着，首先要明确不等式组所表示的可行域，然后将z=2x+3y+1简化为y=-3（2）x+3（z）-3（1），再联系图像可以知道z=2x+3y+1在点A处可以取得最大值，进而由x+2y-5=0和x-y-2=0得出x=3，y=1，所以z=2×3+3×1+1=10。故答案为10。

（三）简洁性

数与形的转换需要利用到二者双向性特点，兼顾各自优势才能够使解题的思路与过程更加完美。例如，假设函数f（x）=a^x-x-a（a>0且a≠1）有两个零点，那么实数a的取值范围是多少？解：令g（x）=a^x（a>0且a≠1），h（x）=x+a，这时会出现01这两种情况，需要在同一坐标系中作画两个函数的图像。如果函数f（x）=a^x-x-a有两个不同的零点，那么就说明函数g（x）和h（x）也存在有两个不同的交点。观察图像，只有在a>1时，才能够符合题目中的要求，所以实数a的取值范围为a>1。

二、数形结合思想在不同问题中的分析

（一）集合问题

集合问题是学生早就接触过的知识，也是在高中数学课程中较早接触的知识。它相比于之前的知识难度已经有所上升，而恰恰集合问题又是向学生渗透数形结合思想的有效载体。那么教师应帮助学生在解决集合问题的过程中学会熟练使用数轴与韦恩图，当学生学会如何利用这两个工具来表示已知集合关系之后，就能够很快地来从图中找出问题的答案。例如，已知全集U={x丨x取不大于30的质数}，A，B是U的两个子集，且C_UB={3，5，7，13，23}，A∩B={11，19，29}，C_UA∩C_UB={3，7}，求AB。首先，可以通过画韦恩图来得出C_U（A∪B）={3，7}，A∩B=（2，17），又因为U={2，3，5，7，11，13，17，19，23，29}，所以A={2，5，13，17，23}，B={2，11，17，19，29}。

（二）三角函数

学生最初接触三角函数是初中阶段的正弦、余弦与正切，当然那时接触的三角函数还是比较初阶的知识。回到高中数学课程来看，教师需要引导学生在单位圆上去认识和完成对新概念知识的建构，这也从侧面向学生提出了更高的数学素养要求。那么在实际授课过程中，首先要掌握的知识就是三角函数的基本特征，即学会如何熟练且灵活地运用单位圆证明三角函数的诱导函数。这时便出现了数形结合思想，通过直角坐标系即可迅速地将推导过程直观化。比如：90°+α。定名：90°是90°的奇数倍，所以应取余函数;定号：将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正，余弦为负。所以sin（90°+α）=cosα，cos（90°+α）=-sinα。

（三）圆锥曲线

圆锥曲线问题涉及到椭圆、双曲线以及抛物线的图像、性质和定义，这其中充满了数形结合思想与相关方法。要知道，这些图像与基本性质都和直线的位置有密切联系，这些看似复杂的联系其实和直线与圆的位置关系是十分相似的。再如过定点与定直线之类的问题，都可以根据图像的特征，联系直线与圆的关系、距离公式或弦长公式进行求解。

综上所述，数形结合思想可以实现抽象代数问题与直观几何问题之间的相互转化，使复杂的问题变得直观且简单易解。教师应善于灵活选择多种不同的方式渗透数学思想，使学生认识到数学思想对于自己学习数学的重要意义，进而在解决问题的过程中加以灵活运用。

参考文献：

[1]朱琳.数形结合思想方法在高中数学教学中的应用研究[J].中国校外教育，2019（26）：48-49.

[2]陈辉忠.基于数形结合思想的高中数学教学研究[J].数学学习与研究，2019（17）：144+152.