类比思维在高等数学中的应用

江颖宜　杨付贵

摘  要：在高等数学的学习中不仅要重视数学知识和技能的汲取，也要重视思想方法的吸收。本文阐述概念、定理，运用类比法积极思维，培养和提高自身数学学习的推理能力和创造性的思维能力。

关键词：类比;应用;高等数学

一、类比推理与高等数学的联系

（一）类比推理的概念

类比，就是将一个抽象的（复杂）问题，转化成另一个具象的（简单）问题。而类比的对象，是抽象的、不易直接理解的问题。类比是将问题A转化成问题B，它们之间之所以可以转化，是因为它们之间，至少在某一点上，有着相似的共性。

（二）类比推理在高等数学中价值作用

高等数学主要包括一元函数微积分与多元函数微积分两大部分人你，它们是相互独立的，却又是相互联系的。特别是多元函数微积分，许多的概念、定理可与一元函数微积分中相应的概念、定理进行类比。例如n元函数的极限、连续、偏导数、全微分、重积分等重要概念都能与一元函数的极限、连续、导数、微分、积分相类比。站在数学发展历史的层面上看，很多数学问题都是在观察、总结、比较和推测中找到解决问题的方式。

二、类比推理在高等数学中的应用

根据中学学习的直线方程的五种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式为出发点，怎样能确定一张平面呢？平面方程会有什么形式呢？进而推出平面的点法式、一般式、截距式及三点式方程。由此可见，类比推理在概念及公式的形成之初是不可少的，是发现概念和公式的要素。

由距离公式d=  为出发点，给出定点P（ 及直线方程Ax+By+C=0，若将平面的点类推到空间点P  ，直线方程类推到平面方程 ，那么点到面的距离公式会是什么形式呢？这就很容易类推得 。

类比法也能应用于大学微积分中，主要知识点是一元函数与多元函数的概念、定理和性质等，在学习一元函数微积分时，对概念和性质的理解可以结合直观性较容易接受，可是到了学习多元函数微积分时，多变量和空间变化，往往让我们感到束手无策，如何通过类比，把多元函数的概念和相关性质的形成从一元函数找出原型，引入新的观点，加于推广并注意它们之间的异同，这可使学习效果达到事半功倍的作用。

在学习二元函数极限概念时，可用与一元函数极限概念相类比的方法给出定义。即首先指出二元函数的极限与一元函数的极限类似，都是反映在自变量的某个变化过程中，函数值无限趋近于某个常数的情况，基于这一种一致性，可类比于一元函数的极限定义给出二元函数的极限的定义，所以也应考虑到让两个自变量与一个自变量的不同之处。再分析一元函数的极限是由哪些量描述的。例如以一元函数 时， 以A（常数）为极限的概念为基础给出二元函数 时 以B（常数）为极限的定义。

一元：  使当0  时，总有不等式： ，

于是根据类比可得出

二元：  使当 即描述自变量得某一变化过程的是两个量）总有不等式： ，微积分中有许多定理可以作相互类比，通过类比逐步引导自己引出新定理的內容，猜想证明新定理的方法，同时看到所类比的两个对象间的一致性和差异性例如多元函数连续、可偏导、可微的三者关系时，可与一元函数的连续、可导、可微的三者关系类比。

我们还可以根据类比法利用一元函数连续性、有界性定理类比出二元函数的相关性质与定理。

一元函数的连续性：设 的定义域为D，对任意D的聚点，且 ，如果 称 在 点连续。

一元函数在定义域范围内，只要当任意的 无限接近 ，它的函数值 也无限接近 时，那么就说它在 连续。对于二次函数也是需要在定义域范围内，这时是两个自变量 ，利用类比，只需要当 无限接近定义域内的聚点 时，它们的函数值 也无限接近 ，那么就可以说 在聚点处连续。

设 的定义域为D， 有意义且 是D的聚点，如果 ，则称 在点 连续。

一元函数若在区间D上每一点都连续，就可称它在这个区间D上连续，因此多元函数只要当它在区域D上每一点连续，也称它在区域D上是连续的。

一元函数的有界性定理：在给定闭区间[a，b]上连续那么它在闭区间[a，b]上一定有界，类比可以给出多元函数有界性定理;如果多元函数在有界闭区域上连续，则函数在该闭区域上有界。

三、类比法应用于数学的意义

根据以上的分析，可以得出类比法在数学解题过程中仍存在局限性，但是不影响它成为最富创造力和想象力的思维方式，在高等数学的学习过程中，需要广泛地运用类比法，培养自身的联想能力和对知识与技能的分析转换能力，有利于很好地培养自己在学习、解题的过程中发现问题并解决问题的能力，促进综合能力的提升。在高等数学中，恰当地运用类比方法能够使知识点化难为易，能提高自身的创造性思维，但类比不是盲目的，需要教师的正确引导和学生的自我感悟。合理的利用类比，才能实现数学学习质的飞跃。

不仅是应用于学习，甚至延伸至数学教学，类比法也可以让学生所熟悉的知识迁移过来，从而更容易掌握新知识，教学达到事半功倍的效果;另一方面，类比的过程是由已知向未知推广与发展的过程，是学生掌握的数学领域逐步扩充的过程。因此，在教学过程中引入类比，不仅可以引导学生懂得如何探索问题，而且有利于学生发展数学思维。

参考文献

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