在探索中发现，在推理中表征

胡亦宁

摘要：从“探索发现”到“特殊验证”，再到“大胆猜想”“小心求证”，符合学生的认知规律，同时也是科学探索的一般方法。课堂以学生为主体、教师为主导，让学生经历定理得到的一般方法，有利于学生数学思维能力的提高。

关键词：探索;发现;推理;表征;直角三角形

直角三角形在现实世界到处可见，且学生在小学就对直角三角形的基本要素有初步的了解。因此，在进一步学习时，教师可以《数学课程标准》的理念及建构主义理论为指导，充分关注学生的已有知识和经验基础，尝试让信息技术成为情境创设的工具，成为学生学习的资源工具、探究工具、评价工具和表达工具，以转变学生的学习方式，促使学生参与、体验概念形成和获得的过程，从中感悟抓住事物本质特征观察的数学思维方法，从而培养学生的创新意识，促使学生信息能力的发展，体现数学学习的价值。

一、内容和内容解析

（一）内容

直角三角形的符号表示，直角三角形的性质定理（1）（2）。

（二）内容解析

1.内容的本质。对于直角三角形，学生只学过它的定义、两个直角三角形全等的判定。本节课主要研究的就是直角三角形的性质。这两条性质分别揭示了直角三角形的主要元素“角”之间的数量关系、主要元素“斜边”及相关元素“斜边上的中线”之间的数量关系，这是本节课的学习主体内容。

2.内容蕴含的数学思想和方法。让学生利用等腰三角形的轴对称性，把其拆分为两个直角三角形，从等腰直角三角形、等边三角形这些特殊的等腰三角形入手，经历“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”及其推论的猜想、探究和推导的证明过程，体会从一般到特殊、再从特殊到一般的数学思想方法。这种特殊化、一般化的研究策略，旨在让学生更好地理解这两条性质的发生。

3.知识的上下位关系。学生在前期已经学习和掌握了等腰三角形的判定和性质，这为学生研究特殊的三角形提供了一定的認知基础和学习范式。定理（2）无论是文字语言表述，还是图形语言的描述，都揭示了直角三角形与等腰三角形之间的天然联系。定理（2）是后续研究直角三角形与特殊平行四边形的基础与依据，直角三角形与等腰三角形的联系与转化也是解直角三角形的利器。

4.内容的育人价值。从认知方面看，让学生经历观察、操作、猜想、验证、推理，从图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，发现一般规律和结构，培养学生知识系统化的思想和分类讨论的思维习惯，并获得解决问题方法的启发。从非认知因素看，整节课的探究过程可以有效激发学生的兴趣，形成积极的情感体验，从而增强对数学的探索能力，发展学生的数学抽象、直观想象和逻辑推理等核心素养。

5.阐明本节课的教学重点。本节课的教学重点是直角三角形的性质定理（1）（2）及其运用。

二、目标和目标解析

（一）目标

掌握用符号和字母表示直角三角形。掌握直角三角形的性质定理（1）（2），即直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，并能运用性质进行计算和证明。让学生经历观察、操作、猜想、验证、推理的定理学习过程，发展学生的数学抽象、直观想象和逻辑推理等核心素养。

（二）目标解析

会运用直角三角形的符号表示，会运用性质定理及推论对有关图形进行论证和计算，从而提高学生的逻辑推理能力和推理表达能力。

三、教学问题诊断分析

（一）已有的基础

学生已经学习了一般三角形和等腰三角形，会在简单情况下证明两个三角形全等，知道直角三角形的定义，初步掌握了综合法的证明和表述。

（二）存在的困难

证明性质定理（2）时，倍长中线法构造全等三角形不易想到，学生在较复杂情况下证明两个三角形全等的推理表达能力较弱，其他方法又欠缺知识基础，在复杂图形中综合运用性质定理的能力比较弱。

（三）解决策略

教师通过折叠等腰直角三角形、几何画板测量演示，让学生对性质定理（2）的证明先有直观想象，对转化成等价命题这一方法的产生有更自然的过渡。

教师通过巩固提高的变式训练，增强学生对知识本质的理解，从定性到定量的研究，提高学生在复杂图形中综合运用性质定理的能力。

四、教学支持条件分析

几何画板、PPT、同屏助手。

五、教学过程设计

（一）新课引入

问题1：

师：同学们，前面我们已经认识了特殊的三角形——等腰三角形，它是一个什么图形？

生：轴对称图形。

师：老师这有一个等腰三角形，你能沿着它的对称轴折叠吗？

生1上台演示。

师：折叠后的三角形角有怎样的特点？

生：有一个角是直角。

师：是的，我们知道有一个角是直角的三角形叫做直角三角形，今天我们一起继续来学习直角三角形。（板书课题）

【设计意图】从学生已学的等腰三角形入手，利用轴对称性引出直角三角形的定义，让学生体会到直角三角形的学习是等腰三角形学习的延续。

（二）新知探索

问题2：

师：如图（图略），△ABC中∠C=90°，△ABC是直角三角形，记作Rt△ABC.（板书△ABC及符号表示）

师：你能得到另两个角有什么关系吗？为什么？

生1：因为三角形内角和等于180°，Rt△ABC中∠C=90°，所以∠A+∠B=90°.（板书几何语言）

师：非常好！这就是直角三角形的性质定理（1）：直角三角形的两个锐角互余。（板书文字语言）

问题3：

师：接下来我们看看，在其他要素上，直角三角形有什么性质。在这个一般的直角三角形上并不能直接发现什么。那我们找一个特殊的，有一个角是直角的等腰三角形——等腰直角三角形。如△ABC中，AC=BC，∠C=90°，同样把它沿着对称轴CD折叠，你有什么发现？

生：得到了两个等腰直角三角形△ACD和△BCD。

师：除了AC=BC，其他线段有什么关系呢？

生1：CD=AD=BD。

生2：都等于AB的一半。

师：对于直角三角形来说，AB是什么边？CD是AB边上的什么线？

生：斜边。斜边上的中线和高线。

师：那你觉得斜边上的中线或者高线与斜边有什么关系呢？

生：斜边上的中线和高线是斜边的一半。

师：这个结论对所有的直角三角形都成立吗？我们用几何画板演示一下。

师：通过度量它们的长度及比值，你有什么发现？

生：我发现直角三角形在改变的时候，好像斜边上的中线始终是斜边的一半，而高线并不一定。

【设计意图】通过等腰直角三角形這个特殊的直角三角形斜边上的中线与斜边的一半的关系，到任意直角三角形斜边上的中线与斜边的关系的思考，引导学生掌握从特殊到一般的解决问题的策略，同时形成猜想。

问题4：

师：那么“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”这个命题是真命题吗？

生：需要证明。

几何画板呈现。已知：如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线.求证：CD=     AB.

师：请同学们小组合作，交流完成。2分钟后……

师：你们组完成了吗？

生：没有。

师：有思路吗？哪里有困难？

生：从已知可得AD=BD=    AB，要求证CD=

AB，我们想到就是要求证CD=AD或者CD=BD，但证明不了。

师：你们的想法很好，那我们一起来试一试。如果已经有BD=CD，只要证明AD=CD，那是不是就等于证明了CD=    AB。那我们就来证明这个命题。

几何画板呈现。已知：如图，D是Rt△ABC斜边AB上的一点，BD=CD.求证：AD=CD.

同屏展示学生的证明过程。

师：非常好！我们通过观察、操作、猜想、验证、推理，得到了直角三角形的另一条性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

【设计意图】通过学生自主探索、小组合作的形式，老师利用几何画板的演示帮助学生理解，从而验证推理，证明猜想。

（三）例题解析

例1：如图（图略），一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡，从A滑行至B. 已知AB=200 m.这名滑雪运动员的高度下降了多少米？

师：下降高度与水平距离、滑行距离构成什么三角形？请作出图形。从∠B=30°能推出什么？

生：∠A=60°。

师：已知什么边的长度？

生：斜边。

师：你能想到关于它的什么性质？

生：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

师：需要添辅助线吗？怎么添？你又发现了什么？

生：CD=    AB=100 m，△ACD是等边三角形。

师：AC与CD、AD有什么关系？请你把过程写一写。

师：从本题我们发现含30°角的直角三角形边之间有什么关系？

生：30°角所对的直角边是斜边的一半。

师：是的，我们得到了直角三角形性质定理的一条推论：直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半。（板书）

师：当我们把含30°角的直角三角形沿着较长的直角边做轴对称后得到的就是一个特殊的等腰三角形——等边三角形，我们也可以在这个图中完成推论的证明。

【设计意图】通过生活中的实例，通过数学几何论证得出推论并解决问题，体现了数学源于生活，应用生活。

（四）归纳小结

我们发现等腰三角形和直角三角形之间有着紧密的联系，通过这节课的学习，我们进一步认识了直角三角形，会用符号和字母表示直角三角形，学习了直角三角形“角”之间的关系、“斜边”及相关元素“斜边上的中线”之间的关系，后面我们还将学习“边”之间及“边”与“角”之间的关系。

【设计意图】通过对本堂课的知识总结，研究几何方法的总结，让学生体会从一般到特殊、再从特殊到一般的数学思想方法。

六、目标达成检测

1.已知直角三角形两个锐角的度数之比为3：2， 这两个锐角的度数分别为          。

2.如图1，已知AC⊥BC，AE⊥BE，D为AB的中点，

（1）试判断DE与CE是否相等，并说明理由。

（2）改变点E的位置如图2，（1）的结论还成立吗？

（3）如图2，若∠ABC=30°，∠BAE=40°，AC=3，试求∠CDE的度数和DE的长度。

（4）如图2，延长AC、BE交于点F，得到图3，试判断∠F与∠CDE的关系。（选做题）

数学思想方法是数学学科实施素质教育的一项重要内容，它在培养学生的数学思维能力、提高学生的数学素质方面具有极为重要的作用。在教学中，数学知识是一条明线，得到数学教师的重视;数学发展史是贯穿于这节课的另一条线，在教学中培养了学生的探索能力。数学思想方法渗透比交代知识更重要，因为这是数学的精髓和灵魂。这节课，体现了教师在教学的同时，注意从特殊到一般、数形结合这两种思想的渗透。

（责任编辑：韩晓洁）