基于问题导学的初三数学复习教学设计

赵岩

[摘要]初三数学第一轮复习需要在复习全面知识的基础上，提高学生的应用能力 以“相似三角形的性质”为例，采用问题导学的方式进行复习教学设计，从回顾旧知识、夯实基础、发展能力等方面探讨初三数学一轮复习的策略.

[关键词]问题导学;初三;数学复习;教学设计

[中图分类号]G633.6

[文献标识码] A

[文章编号]1674-6058（2020）14-0007-03

中考第一轮复习的日的是帮助学生对自己学过的零碎知识进行归类、整理、加工，使之规律化、联系化和整体化，从而使学生的学习和应用能力得到提升.

“相似三角形的性质”属于“三角形全等及其相似”的内容，近三年江苏各市中考“三角形全等及其相似”内容平均比例由2016年的16.38%，至2017年的18.75%，至2018年的19.88%.所占比例呈现上升趋势，笔者分析《2019年苏州市初中毕业暨升学考试说明》，得出本节复习课的教学重难点为相似三角形的性质及其相似的性质在线段比例、面积上的应用，第一轮复习的教学日标应高于平时的单元复习课，同时与第二轮专题复习的综合性相对应，第一轮复习应凸显基础性，一般以知识点的梳理为教学任务，因此，应以概念回顾为主要教学日标.通过适量的解题训练帮助学生梳理初中阶段所学的知识，形成较为完整的知识网络.为了体现学生是学习的主体，笔者采用了问题导学的教学方式设计教学，

一、以题理知，回顾旧知

复习课上能力的提升需要在复习旧知的前提下进行.如何能让学生主动回忆起旧知？笔者从上节课的相似的4个基本图形出发，设置了如下4道小题，这4道题由学生课前完成，在课堂上小组间进行讨论并由学生讲解.

（1）如图1，已知△ABC～△AED，且∠A=30°，∠B=72°，则∠ADE=——;

（2）如图2，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB，BD=4，BC=6，则AB=——;

（3）如图3，△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=4，有下面四个结论：①DE=2;②△ADE～△ABC;③S_△ADE：S_△ABC=1：4④C_△ADE：C_△ABC=1：4.其中正确的有______（只填序号）;

（4）如图4，△ABC中，BC=12cm，高AD=6cm.正方形PQMN的一边在BC上，其余两个顶点分別在AB、AC上，则正方形PQMN的边长为_______cm.

让学生回顾上一节课的旧知和相似三角形的性质，解这4道题分别用到相似三角形的对应角相等、对应边成比例、对应面积比等于相似比的平方、对应周长比等于相似比以及对应线段（高、角平分线、中线）成比例.解题过程都由学生讨论、展示出来，一道题代表一个知识点，通过这4个问题学生达到以题理知的目的.

二、有的放矢，夯实基础

第一轮复习应凸显基础性，应以概念回顾为主要教学日标，通过适量的解题训练帮助学生梳理所学的知识，形成较为完整的知识网络.本节课的知识目标为掌握相似三角形的性质，并在掌握的基础上，尝试作辅助线构造相似三角形，在第一环节进行了旧知回顾，接着采用一道简单的例题进行巩固.

[例1]如图5，在△ABC中，已知MN//AC，AC和CE交于点B，过G作GH//EC，交AC延长线于点H，BE：BC=1：2.

（1）BC：BG=______;

（2）若BE： BC=1：2，S_△ABC=4，则S_△AGH=______，S_{△BEG=________.}

再次利用三角形相似的性质解决复合图形，巩固刚复习的知识点.同时，涉及求线段比例和面积问题，为接下来的能力提升做铺垫.

三、用知得法，提升能力

通过这一节课的学习，学生应实现以下学习日标：掌握相似三角形的性质，并在掌握的基础上，尝试作辅助线构造相似，解决求线段的比例问题;能够进一步发展符号感和推理能力;通过图形变式，能体验数学活动充满探索性和创造性，从基础㈩发，达到能力提升需要一些变式的训练，这一环节使学生能够有以下思维：遇到相似的相关问题，如线段比例问题、三角形面积问题，通过作角平分线、中点来构造平行，从而达到相似，再利用相似的性质，利用方程或函数思想来解决相关问题，

为此，笔者由之前的例题出发，设计了2个变式题，分别对应线段比例问题以及三角形面积问题，2个变式题对应2道练习题来巩固，变式1是线段比例问题，题日源于例题的图形变化，

变式1：将例图中的MN绕E点旋转，变为图6，此刻G点恰为AC中点，EG交AB于点F，且EF：FG=2：3，试求AF：FB的值，

变式1对应的练习：在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，已知AB：AC=3：2，试求BD：CD的值，

为了解决变式l的线段比例问题，需要构造相似三角形，构造相似三角形有多种方法，过中点G、点C、点B作平行线，形成A字型或者8字型，构造相似三角形来解决线段比例问题，同时在解题过程中需要通过方程思想来解决，对应的练习1，同样可以有多种方法构造相似三角形，

变式2是三角形面积问题，源于例题中S_{△ABC与S△AGH之间的关系，}

变式2：在△AGH中，AG=4，B是AG上的一点（不与A、G重合），BC ∥GH，交AH于点c，设△AGH的面积为S，△BCH的面积为S'.

（1）设AB=x，S'/S=y，求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围;

（2）根据y的取值范围，探索S'与S之间的大小关系，并说明理由;

（3）如图9，在四边形AGHD中，AC=4，AD∥GH，AD=（1/2）GH，B是AG上一点（不与A，G重合），BC∥GH，交DH于点C，连接BH，且设AB=x，四边形AGHD的面积为S，△BCH的面积为S'，利用上述解法或结论，用。的代数式表示S'/S.

变式2对应的练习2：如图10，已知△ABC三顶点坐标分别为A（-1，-1），B（3，-1），C（O，-4），二次函数y=ax^{2+bx+c恰好经过A、B、C三点.}

（1）求二次函数的解析式;

（2）若点P是边AB上的一个动点，过点P作PQ//AC，交BC于点Q，连接CP，当△CPQ的面积最大时，求点P的坐标，

变式2是解决面积问題，和例题中的问题2中两个相似三角形的面积问题有所不同，变式2是两个不相似的三角形，但可以通过三角形的面积公式来对比两个三角形的高、底之间的关系，三角形的底、高之间关系需要利用相似三角形对应边或对应边上的高成比例得到.同时，融人了函数思想来解决面积的数量关系，变式2中的第（3）问变成梯形，需要学生利用化归思想将梯形问题转化成三角形，解决相关面积问题，

四、回顾与反思

下面从教学方式、内容、思想三个方面回顾与反思教学.

1.问题导学，提高效率

本节课根据优质提问的“6P框架”设置问题，即准备问题、提真，真问题、促进思考、处理回应、打磨实践和师生协同构成，从学生已有的知识为出发点准备问题，提出4类题，包含12个问题，这12个问题促进学生思考，期间对学生进行回应，促进教师与学生打磨倾听、思考和言语表达技能.同时，让生生合作、师生合作，实现这节课日标.

2.立足基础，细化难题

第一轮复习以梳理知识与基本技能来夯实基础.在教学内容上，笔者选择由基础知识入手，从相似三角形的A字型、8字型两个基本图形引发难题，将难题细化为用基础知识解决，让学生体会基础知识的重要性.

3.建模为线，提升能力

在教学思想上，笔者采用建模思想.第一轮复习立足基础，但不是简单地重复教材，而应把学过的知识进行归纳、整理、深化和升华，让学生不仅掌握了基础知识，还应在理解知识和运用知识上产生一个飞跃，从而提高学生的数学思维和解题能力，为此，笔者通过以题理知这一块建立相似类问题解决的模型，引导学生挖掘问题中的关键条件，根据题中的关键条件找到解题的突破口，构造对应的相似图形，利用函数或方程思想解决线段比例问题和三角形面积问题，利用化归思想解决由三角形的面积问题到梯形的面积问题，以建模为主线，培养学生的数学能力.

[参考文献][1]JaCkie Acree Walsh，Beth Dankert Sattes.优质提问教学法：让每个学生都有参与学习[M].北京：中国轻工业出版社.2019.

[2]张丽.初中生数学建模思想的渗透与培养[J].课程教材教学研究（中教研究），2019（Z2）：31-33.

（责任编辑 黄桂坚）

[基金项目]本文是广东省教育科研“十三五”规划课题“高中数学核心素养的培养及评价研究”（课题批准号：2017YQJK023）的阶段性成果