借助数轴寻找隐性分点的策略

吴梨娟 戴钦彪

[摘要]数学分类讨论问题一直让学生头疼，分类的分界点不好找.我们可以借助数轴寻找隐性分点.

[关键词]隐性分点;数轴;寻找

[中图分类号]G633.6

[文献标识码] A

[文章编号]1674-6058（2020）14-0013-02

中学数学很多应用题都要应用分类讨论思想.有些应用题的分类标准很明显，这些明显分界的点我们称它为显性分点，可是有些题目却很难直观分类，这时我们可以借助数轴寻找隐性分点，划分区域进行讨论，

一、利用数轴上的显性分点求解应用题

[例1]某书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠;②一次性购书超过100元但不超过200元，一律打9折;③一次性购书超过200元，一律打8折，已知小明一次性购书付款188元，求他所购书的原价，

分析：题目提供了100，200这两个显性数据，借助数轴可分为三段进行讨论，分别是O200这三段，再判断哪一段可能书款为188元，如此题中的100，200在数轴上可直观标识进行分类的点称为显性分点.

解：设原价为x元，∵188>100，∴x>100.

如图1，①若100 200（舍）.

②若x> 200，则0.8x=188，解得x=235.经检验，符合题意.

二、利用数轴寻找隐性分点求解应用题

[例2]为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下（注：水费按月份结算，m³表示立方米）：

若某户居民1月份用水8m³，应缴水费为2×6+4×（8-6）=20（元）.

请根据价目表提供的信息解答下列问题：

（1）若某户居民2月份用水5m³，则应缴水费______元;

（2）若某户居民3月份应缴水费19.2元，则用水_______m³;

（3）若某户居民4、5两个月共用水14m³（5月份用水量超过了4月份），设4月份用水am³，求该户居民4、5两个月共缴水费多少元？（用含a的代数式表示，并化简）

分析：第（3）题中以4月份中的用水量a为分类標准，且5月份用水量超过了4月份，则a<7.又5月份用水量（14-a）大于7，则5月份用水量有可能取显性分界点10（不可能取6），可求得a=4，在此求出一个点7，一个点4，使得数轴被分为O

解：（1）该户居民2月份用水5m³，应缴水费=5×2=10元;

（2）由于6×2=12，12+4×4=28，则设用水x m³，根据题意得6×2+（x-6）×4=19.2，解得x=7.8.

（3）如图2，当O

当4

当6

[例3]某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下：

（1）王老师若一次性购物550元，他实际付款_____元.

（2）若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款______元，当x大于或等于500元时，他实际付款______元.（用含x的代数式表示）

（3）如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为a元（a>200），用含a的代数式表示两次购物王老师实际付款多少元.

分析：第（3）问中a的取值不明确，a>200到底有几种情况？第二次购物的货款又落在哪个范围？对于此类明知要分类却无从下手的问题，我们就可以借助数轴解决问题，数轴已经被显性分点200，500分成三段，说明第一次货款。可取200500这两种情况，但是当a只在这两个区间时，第二次货款求得范围320≤820-a<620，200<820-a<320.从第二次货款范围分类不明确，类比例2，我们发现第二次购物货款也可以取200，500这两个显性分点，即820-a=200，820-a=500可求得两个隐性分点a=320，a=620.这样数轴就被200，320，500，620这4个不同的值划分为五段，又a>200，所以a只要在200

解：（1）490元;（2）0.9x（过程略）;

（3）设两次购物共付款w元，

①200

w=0.9a+500×0.9+0.8 ×（820-a-500）

=O.la+706.

②300

③500≤a≤620时，200≤820-a≤320， w=500×0.9+（a-500）×0.8+0.9×（820-a）=-O.la+788.

④620

综上所述，w=O.la+706（200

w=738（320

w=-O.la+788（500≤a≤620），

w=0.2a+870（620

借助数轴找显性和隐性分点求解分类讨论型应用题会事半功倍.

（责任编辑 黄桂坚）