一道数学中考题的解法与思考

李承志

[摘要]以2018年广西贺州市中考数学试题第28题为例探讨典型的中考试题解法，通过一题多变，训练学生思维，提高学生的解题能力。

[关键词]数学;中考题;解法;思考

[中图分类号] C633.6

[文献标识码] A

[文章编号] 1674-6058（2020）14-0001-02

题目（广西贺州市2018年中考题）：正方形ABCD的边长为12，点E在边AB上，BE=8，过点E作EF∥BC，分别交BD、CD于G、F两点.若点P、Q分别为DG、CE的中点，求PQ的长，

一、解法探讨

[解法一]如图1，作QM⊥EF，PN⊥EF，垂足分别是M、N，过点Q作QH⊥PN于点H.则四边形QHNM是矩形.根据平行线等分线段定理可得点M是EF的中点，点N是GF的中点.

∴HN=MQ=（1/2）CF=4，PN=（1/2）DF=（1/2）×（12-8）=2.

∴PH=4+2=6.

∵点M是EF的中点，∴MF=（1/2）EF=6.

∵四边形ABCD是正方形，∴∠FDG=45°，∴∠DGF=45°.

∴∠FDG=∠DGF，∴GF=DF=4.

∵点N是GF的中点，∴NF=2，∴QH=MN=MF-NF=6-2=4.

在Rt△PHO中，根据勾股定理得PQ=√（PH²+QH²）=√（6²+4²）=2√13.

[解法二]如图2，作QM⊥CD，PN⊥CD，垂足分别是M、N，过点P作PH⊥QM于点H.则四边形PHMN是矩形，根据平行线等分线段定理可得点M是CF的中点，点N是DF的中点.

∴PH=MN=（1/2）CD=6， HM=PN=（1/2）GF=（1/2）DF=2，QM=（1/2）EF=6，

∴QH=QM-HM=6-2=4.

在Rt△PHQ中，根据勾股定理得

PQ=√（PH²+QH²）=√（6²+4²=2√13.

点评：上述两种解法利用了正方形的性质、矩形的判定和性质、平行线等分线段定理、等腰直角三角形的性质和判定、三角形中位线定理、勾股定理，关键是构造直角三角形，求出PN和QH的长.

[解法三]如图3，过点P作PN⊥CD，垂足为N，交AB于点M.连接PE、PC.则四边形AEFD、EFNM是矩形，M、N分别是AE、DF的中点.

∴MN=AD=12，NF=ME=（1/2）x （12-8）=2.

∵点P、N是DG、DF的中点，

∴PN=（1/2）GF=（1/2）DF=2.

∴CN=CF+NF=8+2=10，MP=MN-PN=12-2=10.

根据勾股定理得

PE²=PM²+ME²=10²+2²=104，

PC²=CN²+PN²=10²+2²=104.

∴PE²+PC²=208.∵CE²=BE²十BC²，∴CE²=8²+12²=208.

∴CE²=PE²+PC²，∴△PCE是直角三角形，

∵點Q是CE的中点，∴PQ=（1/2）CE=（1/2）×√（12²+8²）=2√13.

点评：本解法利用了正方形的性质、矩形的判定和性质、平行线等分线段定理、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理及逆定理和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，关键是利用勾股定理的逆定理证明△EPC是直角三角形.

[解法四]如图4，连接AP、EP、CP.

过点P作PM⊥AB于点M.

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=CD，∠ADP=∠CDP，

∵DP=DP，∴△ADP≌△CDP，∴∠DAP=∠DCP.

∵PM⊥AB，∴PM∥AD∥EF，∵点P是DG的中点，∴点M是AE的中点.

∴AP=EP，∴∠PAE=∠PEA.

∵∠DAE=∠FEA=90°，∴∠PAD=∠PEF，∴∠DCP=∠PEF.

点评：本解法利用了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线等分线段定理、线段垂直平分线定理、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质及判定和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，关键是利用有两个锐角互余的三角形是直角三角形证明△EPC是直角三角形.

[解法五]如图5，连接PE、PF、PC，容易得到EF=CD.

点评：本解法利用了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质及判定和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，仍然是利用有两个锐角互余的三角形是直角三角形证明△EPC是直角三角形，

二、寻找规律

把BE=8改为BE= 10或者其他（大于0小于12）的值，按解法一和解法二不难找到PH=（1/2）AB， QH=（1/2）（AB-AE），然后利用勾股定理求出PQ的长;按解法三、解法四、解法五不难找到∠CPE=90°，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出PQ的长.

三、拓展延伸

如果把“点E在边AB上”改为“点E在直线AB上”，还有没有上述规律呢？为了说明此问题，分三种情况分析.（以解法五为例进行说明）

1.当点E在BA的延长线上时

如图6，连接PE、PF、PC，容易得到EF=CD，△DFG是等腰直角三角形.

2.当点E在AB的延长线上时

如图7，连接PE、PF、PC，容易得到EF=CD，△DFG是等腰直角三角形，

点评：此时仍可以利用“边角边”证明△PEF≌△PC0，得∠PEF=∠PCD，证明∠CPE=90°，然后利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半就可以求出PQ的长.

3.当点E与A、B重合时

当点E与点A重合时（如图8），点P与点D重合，∠CPE=∠ADC=90°，PQ=（1/2）BD;当点E与点B重合时（如图9），点P在正方形对角线的交点上，∠CPE=90°，PQ=（1/2）BC.

不管点E在直线AB的什么位置都有∠CPE=90°，进而利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可解决问题.

（责任编辑 黄桂坚）