浅谈行列式在线性代数中的应用

蔡磊

摘 要 行列式是线性代数教学中的重要内容之一，其应用贯穿于整个线性代数中。本文总结和归纳了行列式在矩阵、线性方程组、向量组、相似矩阵及二次型中的一些应用，使得学生对行列式的知识有了更深层次的理解与认识。

关键词 行列式 线性代数 应用

中图分类号：G642文献标识码：A

0引言

行列式在线性代数中具有非常重要的地位，很多线性代数的问题都可以转化为计算行列式来解决。为了使学生更好地理解与掌握行列式的知识，灵活运用行列式知识，以下总结和归纳了行列式的一些应用。

1在矩阵中的应用

1.1求矩阵的秩

矩阵的秩：中非零子式的最高阶数。

例1.1求的秩。

解根据矩阵秩的定义。在矩阵中，存在二阶子式。而三阶子式只有一个，即。所以，。

1.2证明矩阵可逆，并且可以求出逆矩阵

定理1.2矩阵可逆的充要条件是，且，其中为的伴随矩阵。

例1.2求矩阵的逆矩阵。

2.2判定线性方程组的解

定理2.2如果（2.1）对应的齐次线性方程组的系数行列式，则该齐次线性方程组只有零解，没有非零解;反之也成立。

3在向量组中的应用

3.1判定向量组线性相关（无关）

结论对于个维向量，，…，构成的向量组。当时，向量组线性相关;当时，向量组线性无关。

例3.1判断向量组是线性相关还是线性无关。

解因为，所以此向量组线性相关。

4在相似矩阵及二次型中的应用

4.1求矩阵的特征值

矩阵的特征值一种计算方法：计算满足的值。

例4.1求矩阵的特征值。

解的特征多项式为，

所以的特征值为，。

4.2判断二次型的正定性

定理4.2二次型为正定的充要条件是：的各阶顺序主子式都为正。

例4.2判断二次型的正定性。

5结束语

线性代数课程具有较强的逻辑性、抽象性，在教学中，教师要对知识点进行总结和归纳，使学生对知识内在联系把握清楚，从而达到融会贯通的效果。

参考文獻

[1] 同济大学数学系.工程数学线性代数[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2] 北京大学数学系.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.