关于应用探究题的分析突破与教学思考

张品军

[摘  要] 应用探究题是高中数学较为特殊的一类问题，问题一般紧密联系实际，解析时需合理构建模型，充分利用所学知识，因此对学生的读题和建模能力有着较高的要求.文章剖析应用探究题的背景，结合考题开展思路突破及转化，提出相应的教学建议.

[关键词] 应用题;探究;模型;交点;直线;圆

问题背景分析

应用性是高考数学的重要考向之一，即倡导学以致用，提升学生应用能力. 近几年的高考命题趋向联系科学技术、生产生活，强调避免数学学习与生活实际脱节，鼓励学生灵活运用所学知识、方法技能和核心素养解决实际问题，以该考查内容为导向出现了众多数学应用题.基于高考考查要求，在探究学习中应培养学生应用数学知识解决问题的意识和能力，提升文字阅读、信息提取、问题分析、数据处理能力，使学生掌握数学应用题的解题思路及方法. 下面以一道高考应用题为例，展开对数学应用题的探究.

典例案例剖析

数学应用题所涉内容十分丰富，重点考查学生的直观想象、数学建模和应用分析能力，下面将对2019年江苏省高考卷的一道数学应用题开展探究.

（2019年江苏高考数学卷第18题）如图1，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）. 规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA. 规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径. 已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（單位：百米）.

（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长;

（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由;

（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P，Q两点间的距离.

问题解读：本题目属于路政规划应用题，对于该类问题首先需要根据题干信息来把握图形，具体内容为下，⊙O表示圆心为O的湖，AB为湖上的一座桥，长等于圆的直径，直线l为公路，AC和BD表示点A和B到直线l的垂直距离.而探究问题规划两条道路PB和QA，需在公路l上选两点P和Q，基本要求是线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，实则为确保公路与湖不存在干涉，是出于实际建设要求. 上述本质为平面几何问题，分析时需要结合图形添加辅助线，构建相应的模型，结合几何特性开展分析讨论.

几点教学思考

对于学生而言，解析应用探究题的难点主要集中在如下两方面：一是审题过程，如何准确理解题意，挖掘题目中的数量关系，把握解题的关键信息;二是模型构建过程，根据题目中的重要信息，如何选择合理的数学模型进行解题，关键是通过合理构建模型，实现“实际问题”向“数学问题”的转化.

1. 深入剖析问题，把握关键信息

应用探究题突破的第一步是审题，需理解问题，把握关键信息，同时也是解题的基础. 在审题过程中需要深入解析问题，把握问题本质，提取其中的关键信息，进行多维表征，展开联想，探究解决问题的突破口. 例如上述路政规划问题中，需要选点修路，核心条件是线段上的点到湖心的距离均不小于湖的半径，实则就是确保道路不与湖交叉，而体现在问题中则是线段与圆不相交，故确定了角度分析和距离计算两种分析方案. 因此在教学中，需要教师引导学生理解问题的根本所在，深入挖掘其中的隐含信息，结合所学知识来转化条件，确定基本的解题突破方案.

2. 合理构建模型，掌握构造技巧

应用探究题突破的第二步是构建模型，即根据实际情形来建立数学模型，同时添加辅助线来加以变形转化，该步是实现实际问题向几何问题转化的关键，也是后续数形剖析问题，降低思维难度的重要手段. 在模型构建的过程中要合理利用几何要素，结合几何特性进行概括抽象，确保所构模型综合现实问题的基本特征和关系，能够充分反映问题的核心要点. 如上述问题中公路抽象为直线，湖抽象为圆，距离中体现了垂直关系，从而将筑路规划问题抽象为直线与圆的交点问题，从而为后续的几何法确定提供了参考. 在教学中需引导学生体验模型构建的过程，掌握问题抽象、模型构建的方法技巧，全面剖析问题，总结方法策略，促进学生构建数学模型意识，提升其思维能力.