落实核心素养，探究教学建构

刘勃

[摘  要] 课程改革聚焦“核心素养”，旨在探索发展学生核心素养的途径和举措，新修订的高中数学课程标准中将核心素养提炼为数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等六方面内容. 数学的核心素养是思维品质、关键能力、情感、态度和价值观的综合体现，文章结合“直线与平面垂直”内容探讨核心素养在课堂教学中的落实方案.

[关键词] 核心素养;数学;探究;教学

立足学科素养构建数学课堂，不仅需要使学生掌握相应的基础知识，还需要培养学生的思维品质，提升学生的综合能力. 教学中需要根据课程的教学标准来挖掘内容本质，以培养学生的核心素养作为教学目的，结合学情精设教学过程，促使数学的核心素养有效落实到课堂教学的每个环节中. 下面将立足数学核心素养的内容，开展“直线与平面垂直”的内容分析和教学探讨.

围绕核心素养，分析教学内容

“直线与平面垂直”是人教A版高中数学必修2第二章的内容，教学的重点是直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理. 线面垂直是直线与平面相交的一种特殊情形，是相对于“线面平行”的另一种位置关系，其中的“平面化”蕴含了数学的“降维”思想，用以培养学生的空间想象和逻辑思维能力. 教学中要引导学生探索、认识空间几何的结构特征，了解直线与平面垂直关系的判定条件，总结直线与平面垂直的性质.

章节内容的核心词是“垂直”，而“垂直”在描述直线、平面位置关系中起着至关重要的作用. 教材将章节内容置于“平行关系”之后，旨在类比“平行关系”进行内容探讨，即整体上提出“直线与平面垂直”的概念、定理和性质的猜想，体验知识探究的过程，自主获得相应的知识. 教学中需要融合几何直观与空间想象，结合合情推理和论证推理，提升学生对空间几何的理解，体会内容的数学思想，培养学生的核心素养.

通过对前面章节“线、面平行关系”的学习，学生已初步具备了空间想象、思维能力，因此可以独立使用数学语言来表述几何要素的位置关系. 但对于其中的特殊情形还难以把握，不清楚几何要素之间的联系与转化条件，难以建立直线与平面垂直的知识网络.基于上述分析，提出以下教学思路：围绕核心素养中的内容，提倡采用探究式的教学方式，结合生活中的实例，引导学生体验直观感知、发现猜想、思辨论证、理论应用的探究活动.

贯彻核心素养，实施课堂教学

根据上述分析，为贯彻数学的核心素养，“直线与平面垂直”的内容教学需要遵循“直观感知—发现猜想—思辨论证—应用强化”的思维过程，通过活动设计、设问引导、推理论证来帮助学生完成定义概括、定理论证和性质归纳. 教学中应结合生活实例，从中抽象数学模型，结合常见的数学道具、多媒体演示等来帮助学生理解空间关系.

1. 以直观想象为突破口实现数学抽象

线面垂直的概念引入是教学的关键环节，该环节需要完成认知过渡和概念定義，基于核心素养的内容要求以直观想象为突破口实现数学抽象，即由生活实例来抽象数学模型. 结合数学抽象思维的要点，设计如下抽象过程：实物→模型→直观空间图.

对于直线与平面垂直的定义，教学中首先利用多媒体呈现图1所示的实物图片，引导学生分别分析旗杆与地面、桥柱与水面的位置关系;然后让学生从数学角度来分析是什么几何元素之间的垂直;最后引入数学符号，构建直线与平面的垂直模型：直线a和平面α，即根据实物所代表的线和平面来抽象模型，引入数学符号来构建直观的几何图像，完成实物向几何模型的抽象过程. 教学中只需要引导学生根据实物关系来分析直线a和平面α的位置关系，完成垂直概念的引入.

而对于“直线与平面垂直的性质”教学抽象则可以联想生活中常见的白杨树，如图2所示. 首先让学生分析每棵白杨与地面之间的位置关系（垂直），然后观察白杨树干之间的位置关系（平行）. 基于此联想中学常见的空间几何图形，在不考虑物体形状和大小，仅考虑其中线面关系的前提下，则可以将其抽象为常见的几何体——长方体ABCD-A1B1C1D1（如图3），其中的AA1，BB1，CC1，DD1均与地面ABCD垂直，而相互之间为平行关系.在此基础上进一步抽象引导，对长方体模型进行多余拆除，仅留下棱长AA1，BB1和平面ABCD，从而得到图4所示的空间模型：直线a和b，以及平面α，其中a⊥α，b⊥α.

数学模型是数学与外部联系的纽带，数学建模则是利用数学的语言符号来描述事物特征、属性的重要方式，有利于学生从整体上把握事物本质. 而数学抽象则可以沟通数学模型和外部事物，对以直观想象为突破口进行数学抽象、构建数学模型有着现实的意义. 教师可以增强学生用数学术语表征事物特性的能力，提升学生的整体意识，培养学生的“直观想象、数学抽象、数学建模”的核心素养.

2. 以数学模型为平台助推逻辑推理

数学模型是数学应用的重要平台，也是诸多学科开展探索研究的重要工具. 数学模型舍弃了事物非本质的属性和特征，对事物的数量关系和图形特性进行了高度凝练，其中含有事物的一般规律，因此可以借助数学模型进行深入分析，重现知识生成过程，总结其中的规律，形成性质定理. 教学中应借助数学模型所提供的平台作用来进行逻辑分析，论证推理.

“逻辑推理”是数学思维的主要形式，也是数学的核心素养，在教学中可以由数学模型出发，基于模型来开展推理活动，对其中的性质猜想进行严谨论证. 在逻辑推理的过程中需要充分利用模型的引导作用，以其为基础开展探究活动，从大胆猜想到思辨论证，由论证的结论归纳成性质定理.

以“直线与平面垂直的判定”为例，教学中同样需要借助由实物抽象的数学模型，引导学生由猜想到判定定理的论证. 可以采用“猜想辨析—操作论证—辩证归纳”的思维设计，即首先观察数学模型，猜想模型中直线与平面垂直的条件，然后进行操作辨析，结合实践、推理活动来形成相应的判定定理.

环节一：观察猜想

模型猜想：给出图5所示的数学模型，其中直线AB⊥平面α，AB∩α=B，直线BC，B′C′？奂平面α（模型中直线AB表示直立于地面α上的旗杆，而BC为旗杆在地面上的影子，B′C′表示地面上的一根直杆）. 试猜想AB与B′C′之间的位置关系，由此可以得到什么结论？

辨析猜想：模型猜想是建立在直线AB⊥平面α之上，教学中可以采用模型辨析的方式进一步逻辑推理，如图6所示，其中的AC和AD视为是牵引旗杆AB的锁链，分析AC和AD是否也与平面α内的任意直线相垂直？

形成猜想：引导学生采用“降维”思想对模型中的特性作出猜想，同时利用图6的反面模型来加深印象，深刻感知直线与平面垂直的本质内容. 通过观察思考学生可以做出AB⊥B′C′的猜想，进而得出AB垂直于平面内的任意一条直线.

环节二：操作论证

讨论的重点是“一条直线垂直于一个平面”与“这条直线垂直于该平面内的任意一条直线”间的关系，教学中同样可以基于数学模型开展论证，设计如下活动.

活动：让学生准备一块三角形纸板，将纸板△ABC过顶点A进行翻折，折痕为AD，然后将其竖直放置在桌面上（BD和DC与桌面相接触），基于此可以构建图7所示的模型.

设问：①折痕AD与桌面的位置关系？

②如何翻折才能使AD与桌面所在平面相垂直？

③由折痕AD⊥CD所得翻折后为垂直关系，即“AD⊥CD”→“AD⊥BD”，可以得出什么结论？

猜想论证：基于数学模型开展实践活动，学生对其中的“垂直”与“不垂直”两种情形进行交流，根据线面垂直的定义对上述三问进行分析，从而确定AD⊥BC时，翻折后折痕AD与桌面所在平面垂直，从而由数学模型论证了线面垂直的条件.

环节三：辩证归纳

基于模型完成线面垂直条件的论证后即可完成判定定理的总结归纳，同样可以结合数学模型.引导学生思考如下问题：如图8所示，位于平面α内的两条相交直线m和n，若有l⊥m，l⊥n，直线l是否垂直于平面α？若m和n不相交呢？

引导辨析：辨析的重点是平面内的两条直线是否相交，即对于图9所示的情形，l⊥m，l⊥n，但m∥n，显然直线l不与平面α垂直.而教学归纳的重点则是用语言表述，结合数学模型，基于判定定理的内容用数学的符号语言来表述.

条件：①一个平面内的两条直线→m，n？奂平面α;②两条直线相交→m∩n =O;③一条直线与两条直线m，n垂直→l⊥m，l⊥n.

结论：该直线与平面垂直→l⊥α.

教学中需要合理结合模型，利用直观的图像进行猜想推理、辨析验证，帮助学生理解数学定理的本源，养成推理有理、推理有据的思维习惯. 同时由模型推理到结论生成的过程中有助于提升学生探究事物本质的能力，以及创新能力.

3. 以逻辑推理为依托融合核心素养

逻辑推理作为重要的思维形式之一，能够促进核心素养的融合，引导学生以正确的思维方式理解数学的概念、定理、命题，理解整个数学学科的结构，提升学生的建模能力和数学运算能力.以逻辑推理为依托进行核心素养融合，需要从知识的应用角度出发：结合问题条件，通过逻辑推理来构建数学模型，结合逻辑推理开展数学运算，促进问题的准确作答.

（1）以逻辑推理为依托强化建模能力

结合逻辑推理激活數学建模可以提升学生的建模能力，正方体是高中数学需要重点掌握的特殊的空间几何体，可通过对正方体内线面关系的逻辑推理来构建相应的论证模型.“直线与平面垂直”的性质定理较多，教学“垂直于同一个平面的两条直线平行”时可引入正方体. 在正方体中作出两条直线a和b，来探究两直线平行满足的条件. 正方体ABCD-A1B1C1D1，尝试在不同的平面中作出直线a和b，探究a∥b需满足的条件.

逻辑分析：具体思路为“a⊥α，b⊥α”→“a∥b”. 直线a和b需分属两个不同的平面，而在正方体内平面之间主要有两类位置关系：平行和垂直，其中平行的两平面为对面关系，而垂直的两平面为相邻关系，因此可以构建两类模型. 另外要确保两直线相平行，可使两直线垂直于同一平面（垂直于同一个平面的两条直线平行）.

模型构建：从而可构建图10所示的满足条件的两个模型（a）和（b），其中模型（a）的两条直线a和b（图示加粗线段）分属平面A1B1C1D1和ABCD，所在平面为平行关系，两平面同时垂直于平面CDD1C1;而模型（b）中直线a和b分属平面A1B1C1D1和BCC1B1，两平面同时垂直于平面CDD1C1.两大模型构建所依据的性质定理均一致，实现了“线面垂直→线线平行”的转化.

（2）以逻辑推理为依托强化数学运算

利用逻辑推理可以强化学生的数学运算能力，适用于后续的定理应用探究中，即以空间几何定理为出发点分析图像，结合逻辑推理开展数学运算，以一道线面垂直的考题为例.

例题：对于图11所示的四棱锥A-BCDE，其中AD=，CD∥BE，∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=，试证明直线AC⊥平面BCDE.

逻辑推理：对于空间几何问题，除了可以从“形”的角度进行分析，还可以从“数”的角度来论证线面垂直. 根据线面垂直的判定定理可知只需要确保AC与平面BDCE内的两条相交直线垂直即可.初步分析求证“AC⊥CD和AC⊥BC”即可.

数学运算：求证AC⊥CD和AC⊥BC可以将相关线段放置到三角形中，分析三边长是否满足勾股定理即可. 具体如下，在△ADC中，有AD=，CD=2，AC=，显然AD2=DC2+AC2，则AC⊥CD. 连接BD，分析可知四边形BCDE为直角梯形，分析可知∠BDC=45°，在△BDC中，BC2=BD2+CD2-2BD·CDcos45°，则BC=. 在△ABC中，AC=，AB=2，BC=，则AB2=AC2+BC2，则AC⊥BC. 综合AC⊥CD，AC⊥BC，可知直线AC⊥平面BCDE.

逻辑推理是高中阶段需要重点培养的核心素养，而依托逻辑推理进行应用探究可以强化学生建模能力、运算能力. 在定理的应用教学中，应围绕“逻辑推理”核心素养开展问题分析、模型建构、计算推理.让学生体会利用定理破除困难，构建解题思路，这是教学的难点，也是提升学生综合素养的关键所在.

总之，开展“直线与平面垂直”的内容教学，引导学生“如何思考”“如何探究”，实则就是培养学生的核心素养，也是思想层面的教学要求. 实践表明，要给学生留足思考的空间，采用知识探究的教学方式，让学生体验知识生成的过程. 教学环节应以从生活实际中提取素材，以直观想象为突破口实现数学抽象;借助直观模型，利用数学模型提供的平台开展数学探究，助推逻辑推理;强化知识应用，以逻辑推理为依托来融合核心素养，提升学生的建模、运算能力. 素质教学是学生参与、知识领悟的过程，只有以探究的方式进行教学才能确保课堂高效，培养学生的核心素养.