数学大单元教学中更要关注“思维生成的第一次”

秦国清

[摘  要] 数学思维是数学核心素养生成之根，数学本质上就是帮助训练学生思维的.文章中笔者从教学高中生首次接触学习的数学概念或数学模型谈起，强调数学大单元教学的背景下，要关注“数学思维生成的第一次”.

[关键词] 数学大单元教学;思维生成的第一次;数学核心素养

思维是人脑对客观事物的本质和事物间内在联系的规律性作出概括与间接的能动反映，是通过空间结构思维和时间逻辑思维这样两种基本形式来实现. 正是通过人自身的眼看、耳听、脑思等学习活动，进而有了摸索，领悟的思维活动过程，这样往往印象深刻，即使在情境变换的条件下，也能实现迁移，运用自如.

数学大单元教学往往讲究“大概念、大情境、大任务”，一方面是说，把我们的设计的内容拉长一点，比如说一章，比如一个模块里的一块面，也可以做跨章节、模块的内容的教学设计. 另一方面，我们要能够关注我们通常所说的方法和能力方面的单元教学设计. 在这一方面我们有一个整体的思考这非常重要. 特别是数学思维能力的培养，数学思维是数学核心素养生成之根. 其重要价值就是帮助学生思考问题，拓展学生的“思维空间”，培养学生用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界的能力.

本文这里“思维生成的第一次”是指学生首次接触学习某个重要的数学概念或数学模型时所产生的数学思维，它对学生对此类问题的认识产生了巨大影响. 正如章建跃博士指出的那样，要引导学生寻找思维的生成点，使得知识的学习寻到源头.本文笔者从教学中两个案例谈起，强调数学大单元教学的背景下，要关注“数学思维的生成的第一次”，积聚数学核心素养，启迪智慧，点化心灵，润泽生命.

函数单调性教学引发的思考

笔者记忆犹新的是多年前模仿陶维林老师上的一堂新授概念课：函数的单调性.

函数单调性的概念在高中数学中具有核心地位. 教学时，仅从图像角度直观描述函数单调性的特征，学生并不感到困难，困难在于，把具体的、直观形象的函数单调性的特征抽象出来，用数学的符号语言描述. 即把某区间上“随着x的增大，y也增大”（单调增）这一特征用该区间上“任意的x1

教者要认识到学生首次接触学习这个重要的数学概念所产生的数学思维对其以后对此类问题的探究产生的巨大影响，在指导研究问题的过程要突出思想方法. 首先从形到数，借助对函数图像的观察，引导单调函数的“直观定义”. 其次，从图形语言的表述過渡到自然语言的表述，得到单调函数的“描述性定义”. 最后，通过对函数描述性定义的辨析，逐渐使得同学们认识到刻画函数单调性不在于所取自变量个数的多少，关键在于是否能够任意取值，通过同学们讨论比较，科学地得出是必须任意取两个. 引导学生获得在某区间上刻画单调增“只要任意x1

这是高中学生用有限的两点（动点）来表示区间上的无限的点（任意点），刻画函数重要性质的第一次，是“动态的、无限与有限的转化”. 当然，初中阶段研究的数轴上的点也有这方面的思想，但还是相对固定的，主要是静态的运算，当时函数变量的思想还没有深入！高中阶段类似的思维还有：函数的奇偶性（对称性）、周期性，数列，向量基本定理，特征向量，简易逻辑，导数，立体几何中的线面平行、垂直.

我们关注函数单调性概念的研究，除了在高中数学学习过程中应用广泛外，它还为研究函数的奇偶性（对称性）、周期性，数列，简易逻辑，导数等提供了视角;为立体几何中的位置关系提供了量化方法. 这正说明，对于标志数学方法重大转变的概念，也应该通过其在不同内容的渗透贯穿来达到理解掌握的要求. 这也是数学大单元教学中对思维能力培养的一个整体性的考虑与要求.

波利亚说过，在教一个科学分支时，我们应该让孩子重蹈人类思想发展中，那些最关键的步子. 当然，我们不是让他们重操过去的无数的错误，而是重操启发思维节点的关键性的步子，要构建一个既能反映数学本质，又适宜学生实际思维水平和能力的教育形态. 如上面提到的立体几何中的线面平行、垂直.只需要研究一个直线与平面平行的问题，就可以引申迁移到整个立体几何上的直线与平面、平面与平面的所有问题，整个的立体几何研究过程都是按照这种思维模式进行的.

因此，数学大单元教学中要发挥思维方法的威力，要引导学生发现思维的生长点，要引导学生挖掘出研究数学问题时思维方法的共同点，为学生今后进一步学习数学奠定基础.

一道值域问题的讲解引发的思考

爱因斯坦曾说过，科学结论几乎是以完美的形式出现在读者面前，读者体会不到探索和发现的喜悦，感觉不到思想形成的深度过程，也很难达到清楚的解释全部的情况.

我们知道转化与化归思想是数学思想方法的核心，它教会我们用联系、发展变化的观点来看待问题，并通过对原问题的作用，使矛盾转化，简化为另一个问题，便于解决. 下面是高中学生第一次碰到的一道值域问题，它的解决也是转化与化归思想一个很好的诠释.

石志群老师在给我们做专业指导讲座时曾提出这样一个问题：求函数y=x+的值域，你是怎么讲解的？效果怎么样？对照自身教学实际确实遇到过这样的困惑.对刚刚上高一的学生来讲，求函数y=x+的值域问题是第一次碰到，遇到无理式时，学生根据以往的经验想到的往往是进行平方，其本质思想转化和化归：化陌生为熟悉，化繁杂为简单. 而本题平方后还有无理式，不能转化为熟悉的函数加以解决. 这时我们的教师会武断地跟学生讲这样做不对，这题要通过换元来解决：设=t（t>0），则x=，则原函数变为我们熟悉的二次函数y=t2+t+（t>0），利用二次函数的性质解决起来就很方便了！教师很快讲完，学生看上去都接受了，但在接下的检测中学生又懵了，完成情况很不好，为什么呢？

我们知道中学生的认识能力、智慧水平尚在发展过程中，一方面数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，要找准学生真实的学习起点，符合学生的认知规律;另一方面数学教学活动要强调让学生在亲身体验中获得内心感悟，经历数学思维过程，才会使學生的思维朝更深刻的方向发展，融会贯通，达到活用知识解决问题的目的.

本题的学生最初的思路方法和教者的讲解都没有问题，但是我们教师在处理这类问题时，不能简单了事，要剖析原因，大胆鼓励学生尝试体验，让学生通过比较发现：平方和换元都是想把无理函数转化成为熟悉的函数（如二次函数）加以解决，都是很好的方法. 但在学生平方处理失败后，鼓励学生观察函数表达式的结构特征，寻找到失败的原因.

在高中数学教学中，我们常运用化归思想中的遵循和谐统一的原则，将题目中的一些要素结合起来，在量与形的关系上向趋于统一的方向进行.我们发现：函数y=x+的右边由两部分（x和）组成，平方后尾巴仍然不掉，不能很好统一;但是我们让学生感知出题者的意图，从整体结构上把握解题的方向，采用换元法解决问题，设=t（t>0），则x=，原函数变为我们熟悉的二次函数y=t2+t+（t>0），这样在整体上进行有机统一，问题顺利解决！

这里笔者觉得最关键的是教学中要关注学生已有数学知识经验和处理问题的思维起点、思维历程，引导学生自主探索，亲历数学知识、技能、方法、思想逐步形成的过程，体会数学知识蕴含的思维价值，加强思维方法的引导，从“数学知识发生发展过程的合理性”“学生思维过程的合理性”两个角度构建学习过程，使学生经历数学思维过程，积聚数学核心素养.

在此笔者不禁想起，有些数学概念或公式往往具有这样的二重性，既表现为过程操作，又表现为对象结构. 高中生在初次学习时，教者重点要放在对概念的发生、发展过程的解析上. 如基本不等式a+b≥2，它表示由不等式前的算式经运算得出不等号后的结果的过程指向，在式子中意蕴着“往下继续算”的操作属性;又具有对象结构关系特征，揭示了“和”与“积”这两种结构间的不等关系. 因此教学时可以采用由数到形和由形到数，双向沟通，从具体情境中提炼出基本不等式. 以学生学习活动为中心，让学生亲历数学对象的形成过程，感受数学求真求美的思维方式，这也是数学大单元教学中对思维能力培养的一个十分必要的举措.

积聚数学核心素养，为“立人”而教

习总书记指出，“育才造士，为国之本”. 归根到底，就是立德树人，这是教育事业发展必须始终牢牢抓住的灵魂.既要教育引导学生珍惜学习时光，心无旁骛求知问学，沿着求真理、悟道理、明事理的方向前进;又要教育引导学生培养综合能力，培养思维能力，提升学生素养.

因此，数学教学要始终把“育人”的目标放在心上，培养学生的数学思维能力，关注思维的生长，培育学生的理性精神，“点化心灵，润泽生命，启迪智慧”是数学教育的逻辑起点和价值所在. 任何学科的教学都不是仅仅为了获得学科的若干知识、技能和能力，而是要同时指向人的精神、思维方式和核心素养的生成与提升. 学科教学要有人的意义，数学的研究方式充分发挥了人的心智功能.数学的实践性与模式化，使数学处在一个较高的方法论层面，这就决定了数学的应用价值，这种价值将数学与人类的社会生产、生活联系在一起.数学中一以贯之的东西，就在于引导学生在数学学习中，学会生存的本领、生活的智慧.

笔者通过教学中的两个案例，探析思维原点，创生思维路径，促进思维生长，关注思维过程，积聚思维品质，以期在数学大单元教学中使学生获得真正有生命力的数学核心素养.