小学生数学抽象力的培养

殷建兵

东北师范大学史宁中教授认为，抽象、推理与建模能力是学生的基本数学学力，其他能力都是它们的派生物，数学抽象最能体现数学本质。所谓“抽象”，是指从具体事物之中舍弃非本质属性而抽取本质属性的过程、方法。在数学抽象之中，表象是基础，概括是方式，语言是载体。通过数学抽象，可以让学生掌握数学知识本质，有效地发展学生的数学思维。

一、 发展学生数学抽象力的根基

表象是学生进行数学抽象的基础，没有表象，学生的抽象性过程学习就无法发生。可以这样说，表象是学生抽象力的源头活水。在数学学习中，学生通过对素材、具体事物等的感性认知，能积累表象认识。有了表象认识，学生就可以自觉地进行比较，从而区分本质属性与非本质属性，进而有效地进行抽象概括。因此，在数学教学中，教师要引导学生观察、辨析、分类、比较等，从而抓取一类事物的共同的、本质的特征。

比如教学《三角形的高》时，仅仅依靠教师机械的、枯燥的说教是无济于事的。教学中，教师必须提供给学生不同的三角形，引导学生对三角形的不同的底边画高。通过对同一个三角形的三条边画高，通过对三角形摆放位置发生变化时、其高的方向变化这一现象的观察，通过对不同类型的三角形画高等丰富的活动，学生就积累了丰富的“三角形的高”的表象认识，这些表象支撑着学生的“三角形的高”的观念。学生认识到，三角形的高与三角形的类型、三角形的大小、三角形的摆放位置、三角形的摆放方向等因素都是不相关的。这样的认知，为学生概括三角形的本质特征奠定了坚实的基础。

表象是学生从外在的感性认知过渡到理性认知的一个桥梁、纽带。在发展学生抽象力的过程中，表象是必经的一个阶段，发挥着至关重要的作用。教学中，教师可以通过观察、操作等活动，借助多媒体技术等手段，通过表象认识的积累、丰富、提炼，启迪、拓展学生的抽象思路。

二、 发展学生数学抽象力的方式

如果说，表象是学生抽象力发展的基础，那么，概括就是学生抽象力发展的一种方式。概括的过程就是一个数学化、形式化、公理化的过程。只有经过了概括，抽象才有可能。在数学教学中，教师要引导学生通过比较，摒弃冗余的属性，对共同的本质的属性进行提炼。要去异求同、去粗取精、去伪存真、由表及里、由此及彼，将本质属性从相关属性中进行抽离、概括、提炼，进而有效地进行数学表达。

仍以上述内容的教学为例，教师可以引导学生比较同一三角形的高的相同点，比较不同类型三角形高的相同点。学生会发现，三角形的高不一定是竖直向下的，三角形的高与三角形的底总是相互垂直的，三角形的高总是经过三角形的一个顶点，到达这个顶点的对边，等等。如此，学生就能有效地进行概括：从三角形的顶点到底边的垂直线段就是三角形的高，从三角形的顶点到底边的距离就是三角形的高，等等。在数学概括的过程中，教师要注意积极引导、点拨学生，要注重概括的层次性，让学生的数学概括能力拾级而上。有时候，一个数学概念的本质属性的揭示，是经历了二次提炼、概括乃至多次提炼、概括之后完成的。这个概括的过程，也就是学生对数学对象进行深度加工的过程，是一种深度活动的过程，也是学生深度思考的过程。

在数学教学中，在引导学生对具体事物充分感知、形成表象认识之后，教师要引导学生及时概括。只有这样，才能让学生的感性认知上升到理性认知层面，从而提升学生的数学学习力。如果教师不及时对学生的表象认识进行梳理、提炼、概括，学生就容易停留在感性的、膚浅的、表面化的、零碎的外部现象上，就不能形成对知识本质的认知。

三、发展学生数学抽象力的载体

很多学生由于对数学本质把握不准，对核心要素认识不清楚，而出现数学语言表达的不全面、不完整、不准确、不清晰等现象。在对数学知识进行提炼、概括的过程中，离不开学生的数学语言的表达。数学语言，是发展学生数学抽象力的重要载体。在培养学生的数学抽象力的过程中，教师要注重对学生数学语言的引导、规范。尤其是，要让学生使用数学的符号语言进行概括、抽象。符号化、数学化是数学语言表达的灵魂。

在教学中，当学生认识到三角形的高的数学本质之后，教师就要着力引导学生数学化、逻辑化地表达。比如，有学生将“三角形的高”表达为“从三角形的顶点到底边的垂直距离”。为此，笔者引导学生认识到表达中的语病错误，因为距离唯一，不存在垂直与不垂直的距离，因而引导学生将“三角形的高”概括表达为“从三角形的顶点到底边的距离”或者“从三角形的顶点到底边垂直线段的长度”，等等。通过数学语言的规范，学生不仅学会数学化、抽象化地表达，更深刻地认识到数学知识的内在本质。

数学语言的表达包括数学实物层面的表达、半符号层面的表达以及符号层面的表达。任何一个数学概念的形成都离不开数学语言的表达。通过数学语言表达的引领，能有效地发展学生的抽象理解能力，建构学生自己的数学理解，从而有效地发展学生的数学核心素养。

（作者单位：江苏省南通市通州区金余小学）