关于行列式展开机制的再探究

徐斌

关于行列式展开机制的再探究

徐斌

（普洱学院 数学与统计学院，云南 普洱 665099）

以分类求和为观点结合逆序数理论对行列式的展开机制进行探究，得到了排列标的全求和公式、逆序数降阶公式及逆序数拆分公式．利用所得公式对行列式的展开问题进行研究，给出了行列式按行展开以及Laplace展开等定理纯计算式的新证明，通过这样的研究增进了对行列式展开机制的认识．

行列式展开；排列标的全求和；逆序数降阶；Laplace展开

1　引言及预备知识

数学中求和是一个很普遍的运算，当引入形式化的符号之后就形成了具有各种结构的求和模式[1-2]，而行列式就是一种具有排列标的全求和结构的求和式[3-4]．本文以分类求和为观点，结合逆序数理论[5-6]对行列式的展开机制进行再探究．

2 主要结果及证明

定理1排列标的全求和公式为

证毕．

3　以分类求和观点探究行列式的展开

3.1　行列式按第行展开定理的新证明

证明根据行列式的定义，有

证毕．

3.2　 Laplace展开定理的新证明

证毕．

4　结语

本文以分类求和为指导思想，通过定义一套专用符号并推证出基于这套符号系统的几个重要公式，再利用这些公式对行列式的展开机制进行探究，给出了行列式按行展开以及Laplace展开等定理纯计算式的新证明．通过这样的研究厘清了行列式这种求和结构的内在机制，并且提供了一套严密的形式化求和模式，这对于将行列式这套高效的计算技术推广到其它抽象结构中（如交换环）是有所助益的．

[1] 徐斌．一个新求和公式及其在微分学中的运用[J]．高师理科学刊，2018，38（4）：4-6

[2] 北京大学数学系．高等代数[M]．5版．北京：高等教育出版社，2019

[3] 张禾瑞．高等代数[M]．北京：高等教育出版社，1999

[4] 林亚南．高等代数[M]．北京：高等教育出版社，2013

[5] 徐斌．逆序数降阶公式及Laplace定理的新证明[J]．普洱学院学报，2016（6）：29-31

[6] 徐斌，李胜平．矩阵乘法的推广及运用[J]．大学数学，2013（5）：87-90

[7] 卢开澄，卢华明．组合数学[M]．3版．北京：清华大学出版社，2002

[8] 屈婉玲．组合数学[M]．北京：北京大学出版社，2002

[9] 张禾瑞．近世代数[M]．北京：高等教育出版社，2001

[10] 杨子胥．近世代数[M]．3版．北京：高等教育出版社，2011

A further study on the determinant expansion mechanism

XU Bin

( School of Mathematics and Statistics，Pu′er University，Pu′er 665099，China )

From the point of view of classified summation and the theory of inverse ordinal number，the expansion mechanism of determinant is explored．The total sum of permutations formula，reverse ordinal number reduction formula and reverse ordinal number split formula are obtained．Using the formulas to study the expansion of determinant，a new proof of pure calculation formulas is given for theorems such as expand determinant by row and Laplace expansion．Through such a study，the understanding of determinant expansion mechanism is enhanced．

determinant expansion；total sum of permutations；inverse number reduction；Laplace expansion

O151.2

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.04.004

1007-9831（2020）04-0016-04

2019-12-12

徐斌（1983-），男，云南玉溪人，讲师，硕士，从事代数研究．E-mail：puerxubin@163.com