探究一题多解的解题策略

郭晶晶

摘 要：在数学学习中，圆锥曲线问题一直是学生捉摸不透的问题，而圆的问题也是圆锥曲线里颇为重要的问题，学生在进行该部分知识内容学习时应当不断就该类问题的实际解决方式进行探究。该类问题往往可以用多种方法解题，一题多解是强化学生知识脉络、深度拓展解题思维的一种重要的学习方式，老师在解题教学中应采用较有特色的“一题多解”来渗透对学生数学核心素养的培养。本文通过对一道与圆有关的轨迹方程的问题对一题多解的解题策略进行探讨。

关键词：一题多解 数学核心素养 圆锥曲线 轨迹 圆

前言

大多数学生认为数学是枯燥乏味的，对数学的学习不胜其烦。因此，有很多学生都在学习数学方面有着不小的困扰，那么要怎样才能学好数学呢？其实，学习数学不只要多做题，还要注重数学核心素养与数学思维的培养。数学题目复杂多变，要真正摸透其根源，就要从多个角度去探询它。“一题多解”并不意味着单纯的寻找解法，而是从多个方面多个角度去剖析挖掘问题的深层结构，利用不同的数学知识，不断地去更新学生的数学认知结构。在教学过程中，老师要从多方面多角度出发，从侧面培养学生多方面多角度思考问题，培养学生“一题多解”的核心素养，提高学生的数学思维能力。本文从一道与圆有关的轨迹方程问题出发，来探究一题多解的解题策略，从而培养学生的核心素养。

一、探究例题的多种解法

题目外一点P（5，2），割线交圆于A、B，求弦A、B的中点轨迹方程。

分析 本题是一道求轨迹方程的题，主要考察的是轨迹方程的求法，此题做法非常灵活，涉及初高中多个知识点，引导学生从多个方面证明，既有利于学生对考察的知识点进行巩固，又有利于对学生创造性思维进行培养，从不同角度运用数学概念，强化、深化、活化有关数学知识，使学生摆脱题海战术，能够逐步灵活运用解题方法的真谛，举一反三，从而进一步提高学生的灵活解题思维。

1.建立直线方程，利用点差法求解

分析1 首先，我们可以从圆锥曲线的角度来分析，这是有关于交点坐标的问题，我们可以想到利用点差法和韦达定理来求解。在解题过程中，我们要注意斜率的取值范围，对不同情况进行分类讨论。

解题1 设A、B的坐标分别为，中点M的坐标为，设割线方程为。

①当k不存在时，直线与圆无交点，不符合题意，即k必然存在。

②当k=0时，直线方程为y=2，联立直线方程与圆的方程得，即，M为（0，2）。

③当k≠0时，直线方程为，联立直线方程与圆的方程得

联立中点M的轨迹方程和圆的方程，得到交点坐（0.6，2.94）（2.47，-1.70）标，所以的取值范围为[-3，2.47]。

所以中点的轨迹方程为

2.建立直线方程，利用代入消元法求解

分析2 我们利用斜率来求解，先将A、B两点分别代入圆方程，然后联立两个方程，两式相减，得到一条公直线方程，再将公直线方程与直线方程相比，消去同类项，得到关于M的轨迹方程。

解题2 设A、B的坐标分别为，中点M的坐标为，设割线方程为。

①当k不存在时，直线与圆无交点，不符合题意，即k必然存在。

②当k=0时，直线方程为y=2，联立直线方程与圆的方程得，即，M为（0，2）。

③当k≠0时，直线方程为，即

将A、B两点代入圆的方程得

两式相比，消去同类项得

而M（0，2）满足该方程，即M的轨迹方程为

联立中点M的轨迹方程和圆的方程，得到交点坐（2.47，-1.70）（0.6，2.94）标所以的取值范围为[-3，2.47]。

所以中点的轨迹方程为

3.运用垂径定理求解

分析3 我们发现，在运用点差法和代入消元法时，都会有一个共同的特点，就是计算量大，求解时间过长，而且特别容易出错，那么我们由M为弦AB的中点就很容易想到从圆的性质出发，使用垂径定理，利用垂直的两条直线的斜率乘积为-1来求解比前两种方法要简单得多。

解法3 设割线方程为，中点坐标为。

①当k不存在时，直线与圆无交点，不符合题意，即k必然存在。

②当k=0时，直线方程为y=2，联立直线方程与圆的方程得，即，M为（0，2）。

③当k≠0时，直线方程为，则，由垂径定理得OM⊥AB得 即，化简得。

联立中点M的轨迹方程和圆的方程，得到交点坐标（2.47，-1.70）（0.6，2.94）所以的取值范围为[-3，2.47]。

所以中点的轨迹方程为

4.运用向量法求解

分析4 向量法同样需要使用垂径定理，但好处是不需要设直线方程，不需要讨论斜率的范围。

解题4 设中点坐标坐标为，，由垂径定理得，，那么，即。

联立中点M的轨迹方程和圆的方程，得到交点坐标（0.6，2.94） （2.47，-1.70），所以的取值范围为[-3，2.47]。

所以中点的轨迹方程为

二、总结一题多解的套路

在解题的过程中，我们往往容易因为惯性思维而忽视思考，用常用的方法去解题，但最常用的方法并不一定是最好的，只有当每种情况都考虑到了，我们才能找出最简单的方法。对于一题多解的探究需要透过问题现象来把握问题本质，从解题的思路入手，选取最合适的解题思想和方法，用思想指导方法，用方法简化过程，最终实现高效解题的目的。通过上述例题的四种解法，我们可以发现，一题多解的套路大概需要5个步骤：

1.首先我们需要从圆的概念出发，联想关于圆的一些相关特征，探究解题的策略。

2.其次我们需要从题目考察的知识点出发，联想与这些知识点相关的解题方法，探究解题的策略。

3.再然后我们由图形的相关特征出发，联想图形的一些信息，探究解题的相关策略。

4.之后我们从常用的一些解题方法出发，深入挖掘思考，探究解题策略。

5.最后我们再从平时常见的数学模型入手，运用这些模型来探究解题策略。

一题多解的本质就是通过多方面多角度的分析，探究问题的多种解题方法.因此在解题过程中，如果我们能从概念、题目所考察的知识点、图形的相关特征、常用的解题方法和数学模型这几个维度入手，往往就可以帮助我们找到问题的切入点，从而发现解决问题的基本策略。

结语

通过进行一题多解的练习，学生可以不断巩固和运用不同的思想方法、数学知识，不断地加深对已有认知结构地理解，突破自己的知识瓶颈，进而形成新的知识认知结构体系。通过老师系统的讲解一题多解，能够培养学生的创新意识与创新能力，锻炼学生的数学思维，提高课堂效率。在课堂教学中通过方法和思想的雙重指导，充分给予学生思考、解决问题的空间，充分发挥学生的主体性，有利于学生间的相互交流，提升学生的解题能力，发展学生思维的灵活性，开发学生的发散性思维，从而培养学生思维的开拓性，逐步培养学生的数学思维品质，形成数学的核心素养。

数学题目的求解，万变不离其宗，一个知识点可以创造出多个题目，一个题目也可以衍生多个知识点，在我们的教学过程中，我们不能剥夺学生的主体地位，要多给学生思考的时间，我们能做的只是传授学生好的思想方法，引导学生自己主动去思考，培养学生的主观能动性。通过一题多解，我们能够帮助学生更好的去发现问题、理解问题和解决问题，从而培养学生的核心素养。

参考文献

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[3]何振华.例谈高中数学一题多解的“套路”[J].福建中学数学，2018，（12）：38-40.