基于数学核心素养下的统计教学研究—-“用样本的数字特征估计总体的数字特征”教学设计

广东省佛山市顺德区罗定邦中学(528300) 陈纪刚

在新的课程标准中,有些知识在不同学段反复出现,例如：概率、统计等,课程标准及其解读讲到这是对知识认识的螺旋式上升[1].在统计的教学中如何将初中知识与高中知识有机过度,既不要理所当然的灌输，又能让学生有所思更有所依,要让学生感觉到学习统计既可以寻根也可以问底,下面就结合“用样本的数字特征估计总体的数字特征”这节课中运用类比推理探究的过程谈谈自己的设计和想法.

1 知识背景分析

学生已经在初中学习了“数据的收集、整理与描述”,已经知道了条形图、扇形图、折线图、直方图, 会用平均数、众数、中位数估计总体.在学习本节课前,学生已经学习了频率分布表、频率分布直方图、折线图、茎叶图等相关知识；能够从形的角度通过抽样估计整体, 并结合初中学习的数字特征：众数、中位数、平均数来研究数据进而估计整体.

用频率分布直方图研究整体特征能够非常直接地呈现出数据的分布及集中趋势,但原始数据丢失,掩盖了很多个体信息；怎样将频率分布直方图和数字特征很好的结合起来是我们本节课主要突破的问题,在很多的教学中是以“理所当然”的态度直接抛授给学生,学生只知其然却不知其所以然,短时间会算,很快会忘记.所以,本节课是本着让学生知其然也知其所以然的思想来设计,在重难点的突破上采用类比的思想,通过学生自主思考和小组合作探究,引导学生用频率的思想重新定义众数、中位数、平均数,再类比到频率分布直方图,使学生能够更好地理解教材上所给出的运算方法进行数据分析.

2 设计思路

2.1 教学设计构成

本学案是按照佛山市罗定邦中学“1+1 主体建构”的课堂模式要求,三案并举,包括：自主学习案、合作探究案、课后作业案.自主学习案是学生课前预习,自主完成并检测,合作探究案是提前预习+课堂小组讨论、讲解点评,课后练习案是课后巩固提升,自主完成.

2.2 教学流程设计

3 教学过程设计

3.1 自主学习课

3.1.1情景引入

表1

问题1 高一年级理科班大部分人的数学成绩集中在哪个数段?

问题2 高一年级理科班位于中间水平的数学成绩又是多少?

问题3 高一年级理科班数学成绩平均水平如何?

设计意图认真思考,分析三个问题分别代表数据的三个数字特征众数、中位数、平均数.用学生刚刚测试过的期中考试作为统计依据, 很好的激发学生研究热情和参与意识,提高学习的有效性.

3.1.2知识回顾

(1)设样本的元素为x1,x2,··· ,xn,样本的平均数为x,众数、中位数、平均数的定义是什么?

设计意图回顾初中对众数、中位数、平均数的概念,为探究用频率的思想定义众数、中位数、平均数做好铺垫.

(2)根据高一年级期中考试的100 个样本完成下面两个问题：

1完成下列频率分布表2.

2画出频率分布直方图.

表2

设计意图通过100 位同学的数学成绩画出频率分布直方图,上传图片到云平台,并关注频率分布直方图的注意事项：纵坐标、小矩形面积、小矩形面积和.

我们第9 周刚进行了期中考试,在理科班617 位同学的数学成绩中随机抽取100 位同学的数学成绩对全级数学成绩分析,100 名同学的数学成绩如表1.

表3

3.1.3自主自测(根据以上数据完成下列问题)

(1)高一年级期中考试100 个数学成绩样本的众数:

A. 84B. 73C. 88D. 73 和84

(2)高一年级期中考试100 个数学成绩样本的中位数:

A. 87B. 88C. 89D. 84

(3)高一年级期中考试100 个数学成绩样本的平均数:

A. 88.77B. 87.93C. 89D. 84

设计意图学生根据100 位同学的数学成绩求出众数、中位数、平均数,进一步的熟悉这三个数字特征求解方法,在平均数的解法上希望学生能寻求更简便的计算方法,为下面频率分布直方图研究数字特征打下基础.

3.2 展示交流课

探究1 用频率分布直方图估计众数

(1)如何用频率来定义众数?

(2)如何从频率分布直方图中估计众数?

(3)用频率分布直方图估计100 名高一同学数学成绩的众数是多少分?

设计意图小组讨论,完成3 个问题：1○再次回顾众数定义：出现次数最多的数据,就是出现频率最大的数；2○小矩形面积代表频率,所以是最高的小矩形；3○因为是估计选中点比较合适.通过小组合作,加强团队意识,互相取长补短；引导学生用频率定义众数,为中位数和平均数的频率思想做铺垫.

探究2 用频率分布直方图估计中位数

(1)类比中位数的定义,教材中为什么说“在频率分布直方图中,中位数是左右两边直方图的面积相等时的x”?

(2)用频率分布直方图估计100 名高一同学数学成绩的中位数是多少分?

设计意图通过小组合作完成3 各方面的任务：1○深入研究中位数的定义,用频率的思想定义中位数；2○类比到频率分布直方图中的中位数使得左右两边小矩形面积相等；3○求出中位数.通过频率定义众数做铺垫,引导学生用频率定义中位数, 结合频率分布直方图小矩形的面积代表频率,增强了学生对频率分布直方中中位数的认识.

探究3 用频率分布直方图估计平均数

(1)如何求1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5 这15 个数的平均数?

(3)你能结合思考(2)的方法类比在频率分布直方图中估计平均数吗?

(4)用频率分布直方图估计100 名高一同学数学成绩的平均数是多少分?

设计意图本部分探究分成两部分：1○老师引导学生用分组频率的思想定义平均数,得出在频率分布直方图中平均数的求法,频率类比小矩形的面积,平均数类比小矩形的中点.运用特殊数据引导学生发现平均数的频率表示形式

2○学生小组合作,探究类比问题,将100 个同学的数学成绩进行分组,引导学生用每组数据的平均数和该组数据出现的频率定义这100 个数据的平均数,

平均数=每个数字×该数字的频率之和

探究4 从频率分布直方图中估计的数字特征与原始数据中的数字特征是否一样?是什么原因造成的呢?

直方图：众数____中位数____平均数____

原始数据：众数____中位数____平均数____

设计意图通过观察发现数据存在的差异性,并找出原因.锻炼学生发现问题并解决问题的能力,在直方图中只能直观地看出数据的大概分布情况,直方图已经损失一些样本信息.

3.3 课后思考题

某企业人员及工资构成如表4:

表4

(1)求出该企业月工资收入的众数、中位数、平均数

(2)该企业每年都要到人力市场去招聘工人,应聘者可能会问及月“收入水平”问题.

问题1 假若你是老板,你对企业员工的月“收入水平”会怎样回答?

问题2 从实际情况看,你认为用哪种数字特征来反映该企业员工的月“收入水平”相对合理些?

问题3 如果该企业员工月收入是3600 元的人数最多,你认为一个新来的打工仔的月收入可能会是怎样?

设计意图思考题,贴合实际,提升学生的兴趣,为下节课运用众数、中位数、平均数合理评价实际问题做铺垫；课后作业强化对三个数字特征的理解.

4 教学反思

本节课的设计本着学生为主体,老师为主导的理念,以小组合作探究、展示、讲解为教学形式,结合信息化手段,充分的调动学生的积极性,在收获知识的同时更能体验知识的形成的严谨,为此,我做了如下的设计：

4.1 情境贴切生活

数学源于生活,用于生活.设计身边的数学实例更能调动学生的学习兴趣,激发学生解决、探究的热情,本节课我选用了学生刚刚结束的数学期中考试成绩为研究背景,在理科班617 位同学的数学成绩中随机抽取100 位同学的数学成绩对全级数学成绩分析,这为引入本节课的内容起到很好的作用.

4.2 以引导促思考,突破难点

本节课的探究部分是以问题串的形式层层递进,一直在引导学生用频率的思想来定义众数、中位数、平均数,特别是平均数的研究,将100 个同学的数学成绩进行分组,引导学生用每组数据的平均数和改组数据出现的频率定义这100个数据的平均数.

平均数=每个数字×该数字的频率之和,这样就用频率定义了平均数,水到渠成的类比到频率分布直方图中,得到平均数的求法.

4.3 小组合作显效果

教学过程中,以小组合作探究为主体,老师引导为辅,不断设问,不断变式,给每个学生提供思考、创造、表现的机会,让学生在自主探索、合作交流中整理数据,分析数据的过程,培养学生发现问题和解决问题的能力,体验学习和成功的乐趣.