基于数学概念深度学习的策略研究

江苏省张家港市妙桥中学(215615) 陈冬

1 引言

《义务教育数学课程标准(2011 年版)》指出: 有效的数学活动,特别是课堂教学应激发学生兴趣,调动学生积极性,引发学生的数学思考,鼓励学生的创造性思维;要培养学生良好地数学学习习惯,使学生掌握恰当的数学学习方法.学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.认真听讲,积极思考,动手实践、自主探索、合作交流等,都是学习数学的重要方式.数学概念作为数学基础知识的核心,是现实生活中某一数量关系和空间形式的本质属性在人的思维中的反映.它是在感知大量感性材料的基础上,经过分析、综合、抽象、概括等思维活动形成的.在初中数学学习中,正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提, 是学好定理、公式、法则和数学思想的基础,是提高学生从数学的角度提出问题、思考问题、解决问题的能力的关键.为此,数学概念的深度学习显得尤为重要.教师不仅要重视数学概念的教学,而且要善于启发学生学会对所研究的对象进行分析、综合、抽象、归纳,深刻理解数学概念的形成过程,透彻把握数学概念的根本内涵,帮助学生运用数学概念正确、迅速地进行推理、论证和运算,逐步提升学生的数学综合素养.

2 初中数学概念学习的现状分析

数学概念主要反映了现实世界中的数量关系与空间形式, 是一种体现数学本质的思维方法, 它具有明确性、严谨性、抽象性等特征.数学概念是学好数学的基础与前提,也是进一步掌握公式、定理、法则的根本,有利于学生形成一定的数学思维,为计算、证明、解答等提供依据.为此,数学概念的学习成为初中数学学习一项十分重要的内容.但在当前的数学概念学习中,存在僵化教条地讲授概念的现象,概念的本质揭示不透彻,忽视概念间的相互联系及概念的综合应用发展等问题,具体表现如下:

2.1重解题,轻理解. 不少教师片面重视解题教学,而不重视概念教学,把注意力和精力过多地投入到了解题教学上,在讲概念时一带而过,不注意讲懂、讲透,让学生真正理解概念;有的教师在教学概念时往往把一些新概念和盘托出,强输硬灌,要求学生去记一些现成的结论,学生囫囵吞枣,没有透彻理解,只是机械、零碎的认识,结果导致学生在没能正确理解数学概念,无法形成能力的情况下匆忙去解题,使得学生只会模仿老师解决某些典型的题和掌握某类特定的解法,一旦遇到新的背景、新的题目就束手无策,进一步导致教师和学生为了提高成绩陷入无底的题海之中.

2.2重记忆,轻探究. 在传统的数学概念教学中,有些教师以“概念同化”方式开展教学,以“填鸭式”灌输为主,学生被动接受知识,甚至只能对概念死记硬背;有些教师没有按照“问题情境—建立模型—得出概念、应用概念和拓展概念”的体系去指导学生进行积极地探究,不注重让学生在仔细观察、认真比较、全面分析中概括数学概念其本质.这样做势必导致学生不能从知识结构的总体上把握数学中的观念、方法和技巧,不能用数学思想和方法去观察、发现、分析数学概念,不能理解和领悟数学概念的实质,这样的数学概念知识不具有广泛的迁移性和普遍性,学生获取数学概念的过程不注重探索性与生成性.

2.3重形象,轻抽象. 由于学生的思维是往往由具体形象思维为主逐步向抽象思维为主过渡.因此,数学概念的教学,必须在直观的、感性的基础上进行,这一点极其重要.但是,在教学中,往往有教师过分注重发展学生的形象思维而忽视了及时进行抽象思维的训练, 导致学生过分依赖于具体、直观的感性材料而缺少抽象的概括、理性的分析.初中数学概念学习不能停留在感性认识上,要让学生获得丰富的感性认识后,对所观察的事物进行抽象概括,揭示概念的本质属性,使认识产生一个飞跃,从感性上升到理性,逐步形成数学概念.

2.4重理论,轻实践. 所有的教学活动都是围绕着课本按部就班地展开,教材上怎样说的,教学就怎样进行,教学时不能联系学生生活经验引入概念,也不能将所学的数学概念应用于生活,解决实际问题.数学学习应成为学生形成健全人格,获得终身可持续发展能力的力量源泉.初中数学教育应该着力于为学生一生发展打好基础,让他们终身受益.数学概念作为初中数学学习的一个重要内容,理应着眼于开发学生的持续发展的潜能,创设利于学生自主探究的教学情境,激发学生创新的欲望,培养良好的数学修养,促进学生的全面发展.

3 初中数学概念深度学习的策略研究

数学概念是用简练的语言对研究对象的本质属性的高度概括,是学生学习数学、接受新知识的基础,准确而又彻底地理解和掌握数学课堂学习中的概念是学生学好数学的必备条件.数学概念一般包括定义、公式、定理及推论,其中每一个字、词,每一句话、每一条注解或注释都是经过认真而又细致地推敲并有特定的含义,确保数学概念的完整性和科学性.初中数学概念的教学在整个教学阶段乃至整个数学学习当中又起到了相当重要的作用,加之初中学生理解能力、思维能力、阅读能力、探究能力等都比较弱,因此,教师在教学过程中应认真讲解概念,不能轻视每一个概念,不能认为概念只要学生记住就行了,而是要让学生真正理解并在此基础上去记忆,这样不仅能使学生记得牢,更重要的是学生能通过概念举一反三、融会贯通,从而达到教学的要求.而在现实中,许多学生对数学概念的学习,只注重盲目地做习题,不注重对数学概念的思考和把握,对基本概念含糊不清.做习题不懂得从基本概念入手,思考解题依据,探索解题方法,而是跟着感觉走,这样的学习,必然越学越糊涂,因而数学概念的学习在整个数学学习中有其不容忽视的地位与作用.

3.1 主动创设数学概念的学习情境,引发学生深度思考

数学概念由数学自身的发展与需要而产生的,许多数学概念源于生活实际,但又依赖已有的数学概念而产生.数学概念的引入,是学生能否学好概念的关键一步.引出新概念的过程,是揭示概念的发生和形成过程,而各个数学概念的发生形成过程又不尽相同, 不同的概念引入的方法就不同.教师必须根据各种概念的产生背景,结合学生的具体情况在教学中不断反思,探究、选择各种有效的形式,从课堂一开始就牢牢抓住学生的注意力,激发学生的求知欲,唤醒学生的思维,使学生以最佳状态参与学习活动,从而达到事半功倍的学习效果.

案例苏科版九年级:§7.1 正切

1.观察思考:

问题1: 某体育馆为了方便观众, 设计了不同坡度的台阶. 下图中, 哪个台阶更陡? 你是怎么判断的?

问题2: 哪个台阶更陡?你是如何判断的?

问题3: 比较这两个台阶,你有什么发现?

结论: 高度与宽度的比值相等时,台阶的倾斜角相等.

2.得出结论:

(1) 如图, 一般地, 如果锐角A的大小已确定, 我们可以作出RtΔAB1C1,RtΔAB2C2,RtΔAB3C3···, 那么有:RtΔAB1C1∽____∽____···

如果一个直角三角形的一个锐角的大小确定,那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定.

3.归纳概念:

注: 由这种一一对应的关系建立函数模型,并用符号化的语言进行描述.

课本是学生获取知识的重要载体,为学生在尝试活动中自己解决问题提供信息,案例中的三个问题就是为了引发学生的思考.问题1 给出了学生熟悉的生活场景——两个不同坡度的台阶,通过信息对比,学生不难发现: 比较台阶倾斜角的大小来刻画台阶的倾斜程度——倾斜角越大, 台阶越陡.问题2 设计了高度和宽度不同的台阶,引导学生从三个层次研究问题,从而发现其数学本质: 1○宽度相等时比高度,越高楼梯越陡; 2○高度相等时比宽度,宽度窄楼梯陡; 3○高度与宽度都不相等时,看比值.由此,学生不难理解利用高度与宽度的比值作为衡量台阶的倾斜程度的合理性,当比值一定,则依据相似的性质可得“角度不变”,即台阶的倾斜程度不变.而高度与宽度在一个直角三角形中就是两条直角边的长度.创设学生熟悉的生活情境,引发学生的深度思考,进行知识的尝试建构,自然就归纳出所需要的数学概念了.

3.2 充分展示数学概念的内涵外延,促进学生深度理解

从数学概念的逻辑构成角度看,内涵就是概念的本质属性.在实际数学学习中,由于对概念内涵认识不清,往往造成数学学习与理解的许多困难与错误.为此,在形成概念的抽象和归纳前,主要是为了让学生获得概念的内涵,凡出现在实际例子中的一些与概念本质无关的性质,会对概念的建立起着心理干扰作用.针对这些情况,学习时应注意: (1)在数学概念学习中,为使学生掌握概念的内涵,教师应透彻了解概念内涵的逻辑起点与学生认知根源的差距,以便设计有效教学,促进二者的顺畅沟通.(2)对于本质属性的认识应当全面完整, 注重各种变式训练.由于本质属性过于隐蔽、抽象,往往会被许多特殊性掩盖,师生均要密切关注.概念的外延就是概念所反映事物的范围(或集合).在许多情形下,学生表面上掌握了某一概念,但并不知道这个概念所反映的事物范围是什么.外延与内涵是紧密相连的,由于对数学概念的理解是随数学活动经验的不断丰富而逐步深入的.从某种意义上说,学生理解概念的外延往往比内涵更为困难.因此,数学概念学习时, 要重点做好: (1)在讲解数学概念的内涵时,要及时阐述内涵与外延的关系,并及时对外延进行清晰揭示,让学生能举出更多的不同例子,尤其是各种变式,以加深对概念内涵的理解,同时也丰富了外延.(2)加强数学分类思想的教学.(3)注意概念外延的变化特征.在讲解数学概念之后,应对数学概念进行多方面的剖析,充分揭示新概念与已有概念的联系,使学生能够看到概念外延的发展.

比如,在学习苏科版七年级的“垂线”概念时,掌握垂线的概念包括三个方面: 1○了解引入垂线的学习情境; 两条相交直线构成的四个角中, 有一个是直角时, 其余三个也是直角,这反映了概念的内涵. 2○知道两条直线互相垂直是两条直线相交的一个重要的特殊情形, 这反映了概念的外延. 3○会利用两条直线互相垂直的定义进行推理,知道定义具有判定和性质两方面的功能.另外,教师还可以启发学生自行去列举生活中桌子、墙角、书本、三角尺等实例,从中加深对“垂线”、“垂足”等概念的内涵与外延的认识.

3.3 完整构建数学概念的知识体系,帮助学生深度把握

《义务教育数学课程标准(2011 年版)》指出: 体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系,运用数学的思维方式进行思考,增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.从中可以看出,数学知识都不是独立的,每个数学概念也不是孤立的,一个新的数学概念都与旧知识都有或多或少的联系.旧知识对学生来说是熟知的,引导学生回忆旧知识也是一种感性材料的积累,对旧知识的合理延伸、同化、推理也可以建构新概念.学习时要使学生感受不出新旧知识之间有“裂缝”,即应从学生已掌握的旧知识出发,引导他们发现、感受、探究新的数学概念,这样才能使学生更好地把握数学概念的本质.其实,数学概念是随着数学知识的发展而不断发展的,学习数学概念也要在数学知识体系中不断加深认识.利用数学概念之间的关系来学习概念,可以深化对所学概念的认识.数学概念学习时,当学生对单个概念有了初步认识之后,还应进一步分析综合,掌握每个概念的来龙去脉,搞清每一个数学概念之间转化的条件,理解每一个数学概念在知识链条上的地位和作用,清晰认识数学概念的整个知识体系,形成数学知识结构.同时引导学生用运动的观点认识、研究数学,这样不但有助于理解和把握数学概念,还能培养学生初步的辩证唯物主义观点.

例如,对“实数”这个概念的教学,先引导学生从取近似值估算法入手, 在练习中用逼近法发现一个无限不循环的小数, 逐步形成无理数的概念, 由此引出实数的概念.然后,通过对实数的分类, 借用思维导图明确初中阶段学习的数的范围, 由整数和分数引入有理数的概念, 在有理数的基础上学习了无理数,从而又引入了实数的概念,渐渐形成了初中所学“数”的知识体系.再如,因式—-公因式—-因式分解—-化简分式—-分式运算—-解分式方程,四边形—-平行四边形—-矩形—-正方形等概念之间都有其内在的联系.明确数学概念之间的系统性,有利于加深对有关数学概念的理解,也便于学生记忆.

3.4 不断加强数学概念的直观对比,推动学生深度感悟

数学中有许多概念具有相类似的属性,对于这些数学概念的学习, 教师可先引导学生分析已学过的数学概念属性,弄清其本质特征,然后精心创设类比发现的问题情境,引导学生去发现,尝试给新概念下定义,这样,新的概念容易在原有的认知结构里得以同化与建构.为此,学习时用直观对比引入概念,往往比单纯、孤立地讲授数学概念效果要更好.我们应该明确,这类数学概念形成的问题情境创设一定要抓住新旧概念的相似点,为新的数学概念的形成提供必要的“认知基础”,通过与已知的概念知识类比,可以让学生更好地认识、理解和掌握新的数学概念.当然,我们也要注意通过类比得出的结论不一定正确,此时教师应及时引导学生修正错误的类比设想,以致得出正确、严谨、科学的数学概念.

比如,通过同类项的定义类比地归纳出同类二次根式的定义;通过类比分数得到分式的概念;类比一元一次方程得到一元一次不等式、二元一次方程、一元二次方程、一次函数等概念.作这样的类比更有利于学生理解和区别概念,在对比之下,既掌握了概念,又可以减少概念的混淆.

3.5 高度重视数学概念的运用反馈,激励学生深度反思

通过运用数学概念解决实际问题,可以加深、丰富和巩固学生对数学概念的掌握,并且在数学概念的运用过程中培养学生的实践能力和创新能力.因此在数学学习中不仅要注意数学概念的形成过程,也要注意数学概念的运用反馈.根据不同数学概念的特点,采用恰当的教学手段,激励学生实现对数学概念的深度反思,才能使学生学得好、学得精、学得牢.数学概念的运用一般可以分为两个层次: 一是知觉水平上的运用,即学生在获得同类事物的概念后,在遇到这类事物的特例时,能立刻将其看成这类事物中的具体例子;二是思维水平上的运用,即当前学习的新概念类属于学生认知结构中包容性更广的原有概念或命题,在运用新概念时要对原有概念进行重新组织.

例如,对于描述性定义法,应尽可能多举实例,让学生通过实例进行抽象概括,上升为概念,同时再从实践中进行运用.对于数学概念的适度识别问题,即针对概念容易出错的地方,要有目的地设计一些问题,问题可以多一些隐蔽性,也可以设置一些干扰因素,以供学生识别、纠错或究错,由此加深概念的反思和理解;还可编制一组具有一定的变化或递进性的问题,要求学生运用所学概念解决这组问题;除了利用教材问题以外,还可以选择有关的问题作为例题或习题,以此培养学生灵活运用数学概念解决问题的能力.

4 结语

许多数学概念蕴含着悠久的历史与文化,学习中我们要让学生充分受到优秀文化的熏陶,提高学生的数学文化修养和素质.我们要改变“概念学习=解题学习”,对概念的形成过程关注不够,学生对概念学习缺乏参与和体验等做法,对典型丰富的具体例证,进行属性的分析、比较、综合、抽象,概括共同本质特征得到本质属性;在几何概念学习中,不仅应注意概念与图形的结合,更要重视引导学生观察、发现、探索并概括出概念的形成过程.引导学生将新概念纳入概念系统,建立与相关概念的联系,促进学生概念系统和认知系统结构的形成.总之,数学概念学习对整个数学学习起着重要的作用,对学生数学素养的提高发挥了基础性功能的作用,教师在数学概念学习中, 应努力通过揭示概念的形成、发展、巩固、应用和拓展等过程,培养学生深度学习、深度思维的好习惯,完善学生的认知结构,发展学生的创新能力,从而提高数学学科的教学质量.