因式分解教学中,如何提升学生的解题能力

张文鼎

摘 要：因式分解是初中数学代数运算的基础部分，它在整个初中阶段数学知识体系中具有“承上启下”的重要作用，可以为学生进入高中后学习数学奠定良好的基础。在“解题”的应用方面，因式分解涉及了一元二次及高次方程（降次）、分式运算（通分及约分）、函数及根式运算（简便运算）等知识，在部分几何知识教学中也发挥着不可或缺的“工具”价值。

关键词：初中数学;因式分解;常见误区;解题能力

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫作多项式的因式分解。换言之，初中阶段有关“因式分解”的教学内容，等同于“整式乘法”的逆过程。据此来说，要在因式分解教学中实现提升学生解题能力的目标，就需要加强学生对“整式乘法”和“因式分解”关系的认知，而“公因式”是两者之间的重要连接点。

一、初中因式分解教学中常见的误区分析

（一）知识理解误区分析

“知识理解误区”是学生在初中因式分解学习中对概念认知不透彻、公式混淆不清造成的，由于公因式的利用不恰当、不正确，从而导致因式分解的不彻底。以下列三道代数式判断题为例。

在对以上三个代数式正确与否的判断上，学生出现“判断错误”的原因是相对一致的，主要包括：忽视公因式的提取、分解不彻底、没有化简。例如，在题（1）中，很显然学生混淆了“因式分解”的概念和“多项式”的概念，因为因式分解的“对象”必须是多项式，而本题中的12x3y2明显不符合要求;而题（2）中，多数学生认为答案应该“正确”，原因是左侧为多项式、右侧为“乘积”的形式，但他们明显忽略了因式分解中“整式”这一限定条件，因此正确答案是“错误”;在题（3）中，学生主要是忽略了“等式左边和等式右边相等”这一基本条件，验证方法也非常简单，只需要让学生细心地将“等式右边”还原成多项式，再与“等式左边”对比即可。

（三）策略理解误区分析

在初中因式分解教学中，“策略理解误区”可视为学生在具体做题时的失误表现，较为常见的“悖论”表现为，原本有相对简单的解法，而学生受限于理解能力和惯性思维，偏偏选择了更加复杂的解法。如果学生长期困于这一误区，不仅会降低学习效率，在做作业、考试时也会消耗大量的时间。这一误区的表现主要是整体思想的缺失，但本质上仍然是对公因式提取操作的不当性。例如，在“3an+4-15an+2b2-108anb4”这一题中，学生虽然知道应该利用“十字相乘法”进行因式分解，但往往第一步就把an作为公因式提取出来，而在解题中忽略了“3”“15”“108”。此外，还有一些题在解题过程中涉及“先计算，再因式分解”，从整体思想出发，可以先将规模较大的代数式视为一个“整体”（如用字母A或B代替），再利用十字相乘法解答出来，在恢复代数式的表达形式后，进行下一步化简。但在具体操作过程中，一些学生还是会选择最简单的“公因式”作为切入点，例如，在“（3x-y）2-（x+3y）2”一题中，学生通过简单计算就会得到“8x2-12xy-8y2”，计算到这一步之后，唯一可做的就是提取公因式，将“4”提出来之后，变成“4（2x2-3xy-2y2）”，这一结果并没有分解彻底，如果分别用A和B代替“（3x-y）”和“（x+3y）”，以整体的形式计算、代入、简化，不仅步骤清晰而且分解彻底。

二、初中因式分解教学中提升解题能力的对策

（一）加强概念本质理解

“概念”是数学语言的高度浓缩。对初中生而言，“数学语言”往往比较抽象，人教版初中数学教材中对因式分解“概念”的阐述，也是采取书面语言形式，对一些数学理解能力较弱的学生而言，难以抓住重点。因此在概念理解教学方面，教师需要采用一系列的“问题”，通过“解题”过程引导，让学生准确地抓住因式分解的本质，包括因式分解的对象、结果形式，以及“恒等变形”“互逆过程”等关系。较为系统的教学方法可借鑒杜宾斯基提出的“APOS”理论。该理论包括“活动（Action）→过程（Process）→对象（Object）→图式（Scheme）”四个步骤。其中，在“活动”步骤中，教师可以基于课堂空间构建问题情境，为学生呈现出因式分解的实用价值所在。

例如，学校要建一块操场，已知条件为操场面积“a2-2ab+b2”，那么它的长和宽各为多少呢？教师通过这种情境创设的方式，让学生意识到“因式分解”是有价值的，并非针对数学公式的简单推论，而这一过程中也将学生的“抽象认知”转化成“具象认知”。在“过程”步骤中，重点要放到“概念提炼及形成”上，数学知识本质上是从生活实践经验中提取的，相对于直接给出的概念，结合生活实践问题层层推导、转化得来的更容易理解。比如，情境创设中提出的“已知条件”，“2ab”中a，b的常数值是不固定的（即长和宽不固定），哪一种最合理呢？可以通过代入不同数值进行检验，而这一过程中不变的是“完全平方公式”。在“对象”步骤中，抽象化任务已经完成，研究对象为“代数式”或“多项式”，进而在“图式”步骤中分析因式分解与整式乘法的联系、区别。

（二）加强公式特征理解

“公式”是初中阶段应用数学知识解决具体问题的重要手段，围绕着因式分解教学中的解题方法分析，主要涉及“平方差公式”和“完全平方公式”，而这两个公式在学习因式分解之前就已经出现了，为进一步学习因式分解中的“平方差公式法”和“完全平方公式法”提供了必备条件。无论是将这两个公式作为“解题思维”，还是“解题手段”，教学中都要强调这两个公式在“整式乘法”和“因式分解”中处于相互逆转的形态，这也是学生理解公式的最大障碍。诸如前文中分析的那样，从“正向思维”向“逆向思维”的转化过程中，容易出现公式混淆、乱用的现象——基于此，在解题过程中，学生可以采用“结构法”或“换元法”来进行转化，加深对公式特征的理解。

例如，平方差公式可以表达为“○2-●2=（○+●）（○-●）”，完全平方公式可表达为“□2±2□■+■2=（□±■）2”，以上按照结构规律，通过换元形式，能够加深学生的记忆，符合“从特殊到一般”的思维训练规律，学生在进行因式分解解题时，只需要按照“元”的对应性进行取代，就能够便捷、准确地得到正确答案。例如，在“（2a-b）2-（a+2b）2”这一道题中，学生如果理解了平方差公式的结构特征，则可把（2a-b）可视为○，把（a+2b）视为●，直接通过换元的形式即可展开计算，而不需要先进行“分解多项式”再计算。

（三）加强解题技巧实践

理解概念、掌握公式只是因式分解教学中“解题能力”的准备阶段，要达到熟练、快速、准确的解题效果，还需要一定强度的训练，这一过程中的技巧总结就显得尤为重要。从教学角度来说，解题技巧可以通过“归纳法”呈现给学生，实现“特殊性”和“普遍性”的统一。例如，从“公因式”角度出发，解答一道题可以按照如下流程展开：①判断多项式，如果首项符号为负，则通过调整位置转化成正，进而提取公因式;②提取公因式后，再判断多项式，如果为两项式，可考虑利用“平方差公式法”，如果为三项式则考虑“完全平方公式法”和“十字相乘法”;③提取公因式后，如果多项式为四项及以上的情况，则考虑“分组分解法”。

三、结语

综上所述，本文围绕着“公因式”解读了初中数学因式分解教学中学生常见的理解误区，为走出误区，一方面，学生需要加深对公式、概念的理解，避免对“提公因式法”的滥用;另一方面，学生要加强解题技巧的实践，通过强化练习，全面掌握因式分解的方法。

参考文献：

[1]王玲玲.重视初中数学概念的生成过程——以“因式分解”的教学为例[J].中学数学，2019（12）：13-14.

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[3]张雅琴.另辟蹊径巧解题——因式分解的妙用[J].甘肃教育，2017（15）：124.