中美小学数学教材“用数对确定位置”的比较研究

□张耀胜

“用数对确定位置”是小学数学课程的重要内容，它沟通了代数与几何领域，实质上是解析几何的开端。为更好地教学，我们选取了中国的人教版《数学》（以下简称人教版）和美国的My Math（以下简称MM 版）教材进行比较研究，分析两国教材的异同，以期得到教学启示。

一、基本情况比较

（一）教学时间

人教版教材将“用数对确定位置”这一内容安排在五年级上册第二单元，MM版教材将此安排为五年级第七单元《表达与模型》中的第8课。因MM版教材是一个学年一册书共12 个单元，所以从时间上看，MM版教材设置的教学时间相当于五年级下册。由此看来，中美两版教材都将此内容编排在小学五年级进行学习。

（二）知识铺垫

两版教材对教学内容的编排都是在“用上、下、前、后、左、右确定位置”和“用东、南、西、北等词语描述物体方向”的基础上，进一步学习用数对确定物体的位置。

二、教材比较

（一）情境设置

在情境设置方面，人教版教材从教室座位图这一学生熟悉的生活情境入手，让学生展开学习；MM版教材则先直接介绍坐标框架，再出示地图，让学生展开学习（见表1）。

表1 中美两版教材“用数对确定位置”情境比较

由此可见，人教版教材设置的情境更贴近学生的日常生活，更注重数学与生活的联系，而MM 版教材侧重规范的数学表达，给出了必要的数学名词，如“数轴”“坐标平面”“原点”等基本术语，有利于数学交流，这一点值得借鉴。事实上，少了这些基本术语，的确会给数学交流带来不便。

（二）图示表征

在图示表征方面，人教版教材将教室座位图抽象成“方块图”，MM版教材给出的图示表征方式是坐标框架，也可以称为点阵图（见表2）。

表2 中美两版教材“用数对确定位置”图示比较

对比发现，两版教材的图示存在较大的差异，人教版教材的“方块图”中没有原点，表明“数对”对应一个“方块”；MM 版教材的“点阵图”中有原点，明确“数对”对应一个“点”。对应“方块”与对应“点”，哪个更有价值呢？张奠宙先生认为：“‘数对’或‘文字对’可以对应一个‘方块’，乃是生活常识。这种识图的技能，对于六年级学生来说实在是过于简单了，实际上不教也会。问题尤其在于：此类技能与数学的发展没有关联；‘方块’不能计算，做不到‘数形结合’，更无法推广到‘有理数对’的方块、‘实数对’的方块，对日后学习‘坐标几何’‘曲线与方程’等数学基本方法并无助益。喧宾夺主，反而容易产生误解，干扰数学本质的揭示。”言外之意，张奠宙先生认为如果仅是满足生活中的定位需要，用上方位词就行。但是，要描述物体的动态和运动中的位置，仅用方位词就力不能逮了。而按照数学的方法，把物体抽象成点，再把点和有序数对一一对应起来，然后用代数式把数与数之间的关系构建出来，这样根据这个代数式就可以了解点或物体是如何运动的，运动中的点或物体的位置在哪里。

（三）概念定义

在概念呈现方面，两版教材均对“数对”的概念做了强调，人教版教材采用的是描述式：“张亮在第2 列、第3 行的位置，可以用数对（2，3）表示。”这是用举例的方法来描述概念。相比之下，MM版教材除了呈现描述式概念外，还有定义式概念，如图1 所示，明确指出数对是用来确定网格上的一个点，MM版教材的概念清晰、呈现明确，有定义有举例，更全面完整，值得借鉴。

图1

（四）强调有序

数对的次序尤为重要，两版教材都用数形结合的方式强调次序，人教版教材是用（列，行）次序来表示数对的。但教材中说“张亮在第2列、第3行的位置，可以用数对（2，3）表示”。这里的“可以”两字看不出“唯一”的意义，也就是说没有明确说明数对的有序性。例题通过用数对表示王艳（3，4）和赵雪（4，3）两名同学的位置，让学生“看一看有什么不同”，来明确数对中两个数是有顺序的；MM版教材是用（向右，向上）的次序来表示数对的。为了凸显次序，教材中将数对命名为“有序数对”，如图2所示。在呈现描述式概念时，MM版教材采用图文结合的方式，分两个步骤以填空的形式清晰呈现先向右、再向上的次序，并且坐标框架图中还配有红色向右、蓝色向上的指示方向线，直观易懂。对比发现，MM版教材更加注重数对的次序。

三、教材的可读性比较

通过以上对比可以发现，两版教材在概念呈现上有较大的不同。那么，哪种方式对于学生来讲可读性更强，自学效果更好呢？我们作了进一步研究。调查对象为广东省东莞市莞城英文实验学校四年级随机抽选的两个班共86名学生。调查方式是：将学生平均分为两部分，一部分自学人教版教材，一部分自学MM 版教材。学生自学后进行测试，测试以问卷形式进行，教师不读题，学生独立完成，答题时间为25分钟。

前测卷第1 题与各自教材中的例题1 完全相同，第2题的图示与各自教材中的例题2相同，为了便于数据统计，我们统一了第2题中的数据。测试后共回收86份有效问卷，调查结果如表3所示。

图2

表3 调查结果统计表

由表3 可知，学生自学例题后完成同样的题目，正确率都比较高。自学MM版教材的学生的答题正确率略高于自学人教版教材的，说明这一内容的学习对学生来说并不困难。

对学生的错误情况进行汇总发现，自学MM版教材的学生的出错情况较为集中，只有两类，而自学人教版教材的学生的出错情况较为分散，有六类。主要情况如下。

1.不理解数对的含义，所有数对中的两个数都写错，且没有规律可循。自学人教版教材的学生中没有出现这种现象，而自学MM 版教材的有4 人。通过访谈得知，MM版教材文字多，阅读量大，学生没有抓住要点导致理解偏差。

2.已经有了“序”的观念，但在写的时候是先写纵坐标再写横坐标，用反序写数对，即所有数对中的两个数正确，但表示的顺序正好相反。自学人教版教材的学生中有2 人出现这种情况（如图3），自学MM版教材的有8人（如图4）。

图3

图4

另外，我们也发现了一个有趣的现象。大部分数对都被学生反序书写了，唯独（0，3）这个点正确率很高，如人教版问卷中的猩猩馆（0，3）的位置学生都写对了。访谈后发现，原来是学生发现（3，0）这个位置已是大门的位置，猩猩馆不可能在那里，所以就交换了数对位置。MM版问卷中反序书写的8名同学中有4 名“蒙对”此题，也是这个理由。由此也可以看出，学生对“序”的概念的理解还是不稳定。

3.能用数对表示，但没有形成数对是有序的概念，有时正确，有时错误。自学人教版教材的出错学生中有6人属于这种情况，这与人教版教材中例题没有讲解原点、没有明确数对与格点的对应可能有一定的关系。因为在例题1 中明确列和行的意义时，只将座位图抽象成方块图，学生潜移默化地认为数对对应的是方块，图示变成点阵图，学生在数的过程中就出现了各式各样的数法，错误也呈现多种情况。

4.仅数对（0，3）标错位置。自学人教版教材的出错学生中有3人属于这种情况，这也说明学生不理解原点的意义。

此外，自学人教版教材的学生中有5人出现漏题现象，这除了与学生做题的习惯有关外，也与教材教学内容的编排紧凑有关。

通过前测的对比分析我们发现，教材编写得越规范具体，导向性就会越好，对学生自学也越有利。如加了原点的MM版教材，明确指出有序数对与平面上的点对应，数形结合的方式学生更容易理解。因此，我们建议教材在编写内容的时候不仅要考虑源于日常生活，还要高于生活，注意数学的规范，避免出现“数对”和“方块”相对应的情况，要与课程标准的要求相一致，这样指导性会更强。

另外，在教学“用数对确定位置”时，我们建议在概念呈现的时候，可以借鉴MM版教材的编写方式：让学生在方格纸上标明原点以及列和行的刻度，并且用上“横坐标”“纵坐标”这样的术语，明确先从左往右看横坐标，再从下往上看纵坐标，让学生弄清楚数对与方格纸上点的对应关系。这对于学生学习来说更有生长性，能为今后坐标系中点的位置描述、点运动轨迹描述等数学学习做好铺垫，也能帮助数形结合、几何直观等数学素养落地生根。