中美小学数学教材“假分数的认识”的比较研究

□楼雪佩

在分数的认识教学中，对假分数的认知是公认的难点，学生存在疑惑，如分子比分母大的分数还是分数吗？教师教学也有为难之处，如假分数“假”在哪里？教学中该如何引出假分数？为更好地设计教学，我们选取了中国北师大版《数学》（以下简称北师大版）五年级上册“真分数和假分数”和美国My Math（以下简称MM 版）G4（四年级）“带分数和假分数”两个版本的内容来进行对比研究。

一、课节序列比较

为了解两版教材关于“假分数的认识”的整体情况，我们对与假分数的认识有关的课节序列编排进行了比较（见表1）。

表1 两版教材中与假分数的认识有关的课节序列编排的比较

两版教材都是在认识真分数、分数单位的基础上展开对假分数的认识，从而学习假分数和带分数的互换、运算及应用，符合学生的认知规律和数学知识学习的渐进关系。北师大版教材中假分数的认识的前一课是认识分数单位，这样的编排有利于学生理解真分数和假分数都是“分数单位不断累加的结果”。而在MM 版教材中，假分数的认识的前一课是带分数的学习，这样的编排可以帮助学生通过带分数的知识迁移认识假分数，理解假分数是带分数的另一种表示形式。其中，MM 版教材中“整数的分数形式”课时编排让学生认识了分子等于或大于分母的分数形式，降低了假分数学习的认知难度。相较之下，北师大版教材对学生学习知识的联结能力要求更高，更强调学习的实效性。

二、概念理解比较

（一）问题情境的比较

1.情境创设

北师大版教材创设了猪八戒分饼的童话情境，激发了学生的探究兴趣，体现了中国的传统文化。MM版教材选用了义卖会上学生卖馅饼的情境，贴近学生生活，体现了美国教材中德育教育的渗透。

2.问题设计

北师大版教材设计的问题是“5 张饼要平均分给4 个人，每人分到多少张饼”，MM 版教材设计的问题是“每个馅饼都平均分成了5 块，卖完后还剩下7 块，你能用分数表示剩下多少馅饼吗”。这两个问题在本质上都是让学生用分数表示生活中具体的数量，但在问题解决难度上却差异较大。MM版教材的问题中已经明确告知“每个饼平均分成了5 块，卖完后还剩下7 块”，不需要学生经历分的过程，只需要学生用分数表示这个量。问题设计直白，学生可以凭借自己的知识储备加以解决。北师大版教材的问题则更具挑战性，5张饼要平均分给4个人，可以怎么分？每个人能分到多少？可以用什么数来表示？学生需要通过问题思考，在自主探究、同伴交流和教师引导中体会假分数产生的背景和意义。虽然北师大版教材的“大问题”设计方式对学生个体来讲难度较大，学生需要在别人的帮助下才能理解概念，但是像这样着眼于学生“最近发展区”的教学具有科学性和实效性。

3.素材选择

两版教材在情境创设中都选择了“圆饼”素材，素材选择的一致不是巧合，而是因为“圆是中心对称图形”的特征能满足平均分需要，便于学生的操作和观察。与MM 版教材没有设计让学生进行分物的操作相比，北师大版教材选择“4”作为分的对象数量，学生只需将圆进行两次对折就能实现平均分，操作非常方便。北师大版教材中得出每人分到张饼，MM版教材中得出剩下的饼可以用表示，两版教材在本课中都选择用大于1小于2的假分数引入学习，利于学生理解假分数能表示任何一个大于或等于1 的数量，实现对表示1 以上数量的精准刻画。可见，两版教材都较好地体现了素材选择的科学性和有效性。

4.直观表征

两版教材都用了直观图来进行表征（见表2）。北师大版教材呈现的是5 张整个的饼，“每人分到多少张饼”无法直接得知，学生只有借助学具操作、推理等方法加以解决，这样的“留白”处理，为学生学习能力和探究能力的发展提供了空间。MM 版教材呈现的是卖完后一个已经平均分成5 块的饼和另一个饼中剩下的2 块，对于“饼是怎么分的”“剩下多少块饼”学生一目了然，不需要经历“怎么分—分到多少”的思考和操作过程，同时这种切块的叠加方法有助于学生直观地感受假分数的本质是分数单位的累加这一概念。虽然呈现方式上有所不同，但是两版教材中直观图的呈现都能帮助学生理解问题。

表2 两版教材中直观图的对比

（二）问题探究的比较

表3 两版教材中问题探究过程的对比

对两版教材中问题探究的过程进行对比（见表3）可知，两版教材中都是先引出整体加部分的带分数表示数量这一方式，再通过部分单位量的累加得到假分数，符合学生由自然数到分数表示量的认知规律。同时，两版教材都借助了从圆形中分离出的扇形图来沟通分数单位和面积模型的关系，通过图形的大小和叠加，学生直观地感受到假分数的本质是分数单位的累加，借助几何直观进行概念理解。但是，两版教材在具体引出方式和方法呈现上有所不同。

（1）MM版教材采用文字描述、面积模型、加法算式等混合说明的方式开展学习，最后出示“带分数和假分数都可以表示剩下的量”，直接呈现完整的过程和结论。其中教材中的细节处理，如整个饼的数量用“”和“1”两个数重叠表示，将扇形面积图有序排列等，有助于学生直观感受分数单位的累加。MM 版教材图式结合、关注细节的呈现方式，让学生对知识点一目了然，利于学生开展独立学习和复习，充分体现了学生的学习主体地位。

（2）北师大版教材中由于情境问题具有挑战性，学生很难独立解决，需要借助动手操作、同伴交流的方式进行探究性学习。为了保证学习的有效性，教师的引导就显得至关重要，教师必须关注学生的不同思路和想法，根据班级实际情况进行知识点的总结和难点的突破。可见，北师大版教材在体现学生主体地位的同时也强调教师的引导作用，对教师的专业水平要求也相对更高。为了给学生的“学”和教师的“教”提供正确的思路，教材中设计了问题串、人物旁白、对话框等提示。比如由智慧老人的旁白明确了是带分数以及的读法。借问题串“淘气遇到了麻烦，你能帮他解决吗”预设了学生可能存在的认知冲突，“我一张一张分，从图上看每人怎么分到”。为了解决这个难点，教材中借用旁白和对话框的形式引导学生开展交流讨论，在交流中通过多种方法理解淘气所说的一定不是表示分到的绝对数量，这样多角度的意义理解丰满了学生对分数的认知。

三、概念解释比较

对两版教材中概念的解释对象和顺序进行对比（见表4）可知，MM 版教材引导学生由带分数的学习迁移到对假分数的认识，突出带分数认识的重要性。北师大版教材虽然引出了带分数的表示方法，但却没有进一步地进行概念解释，而是出现了真分数概念的解释。由此可见，北师大版教材更注重在真假分数的对比中开展假分数概念的建构和理解，突出假分数认识的重要性。

表4 两版教材中概念的解释对象和顺序的对比

在概念的表述形式上，北师大版教材采用了描述式，MM版教材采用了定义式（见表5）。

表5 两版教材中概念表述方式的对比

北师大版教材中描述式的表述，利于学生直观形象地理解假分数“分子等于或大于分母”的表征特点，与“分子小于分母”的真分数对比，学生充分认识到分数可以分为真分数和假分数。MM 版教材中定义式的表述，则用简明而完整的语言清楚地阐明了假分数和带分数的关系，利用概念同化帮助学生理解假分数就是带分数的另一种书写形式。

通过比较发现，在“假分数的认识”一课中，北师大版和MM 版教材都关注解决学生对假分数的认知困难，创设适当的情境引入假分数，帮助学生感受假分数的产生及必要性。另外，在课节编排、概念建构上遵循学生认知规律的发展顺序，体现了教材编写的科学性和严谨性。相对而言，MM版教材中的问题设计和探究过程更显简单直白，而北师大版教材的“大问题”设计更注重引导学生在探究中经历分析和推理过程，体现数学学习的基本思想。