基于SOLO分类理论的数学学习评价（二）——小学生找出“较复杂图形中梯形”的思维层次分析

□邵 虹

（接上期）

四、启示与建议

在上述的测试问卷与调查数据中，通过SOLO分类理论诊断、分析不同学生对同一问题的解题策略与思维水平，可以初步得出研究启示和对教学的建议。

（一）SOLO 分类理论能有效地评价数学学习质量

在学习情境中，如何评价教学质量，如何提高教学质量，是所有教师关心的问题。定量的评价，如1分钟正确口算的题量，如记住公式法则的数量……目前已经有了很好的理解和运用。但如何对学习过程和学生思维结构进行质的评价，大多数教师使用的方法往往是主观的，模糊的。而SOLO 分类理论的主要观点是：关注学习过程，关注学习质量，认为学习结果在结构上的复杂程度可以显示学习质量的不同水平。[7]由此可见，SOLO分类为评价学习质量提供了适切的理论分析框架。

如图11所示，SOLO分类理论的前结构水平到多点结构水平反映的是学生获取信息、线索数量的多少，并没有找到知识的内在联系，属于量变。从多点结构水平到关联结构水平不仅增加了相关信息的数量，更重要的是将零散知识联结成有结构的体系，是质的飞跃。关联结构水平到抽象扩展结构水平则反映学生思维进入了一个更高的层次，也就是高认知水平层次。

图11 SOLO分类理论与学习质量评价的关系

随着学生应答结果的复杂性不断增加，SOLO分类理论的五种思维水平反映了学生学习从量变到质变的过程，清晰、合理地解释了层次之间的递进，呈现螺旋上升的结构。这些事实都表明，SOLO分类理论对评价数学学习质量有很大的优势。

（二）SOLO 分类理论能准确地测量学生思维水平

本次研究中，笔者对学生解决“找出较复杂图形中的梯形”一题，根据SOLO 分类理论对各思维水平层次进行了统计。四年级学生的作答处于单点结构水平及以下的有22 人，约占22.9%；处于多点结构水平的有52 人，约占54.2%；处于关联结构水平及以上的有22 人，约占22.9%。数据表明，在梯形概念教学中，多数学生对图形特征的本质把握停留在直观辨认阶段，缺乏综合应用概念进行逻辑判断的能力和经验，处于量变到质变的边缘地带。

通过SOLO 分类理论对学生作答过程进一步分析，对错误结果进行分类。可以发现，处于前结构和单点结构水平的学生理解问题、掌握知识存在困难和错误（例如，错误认为四边形DEFC 是平行四边形）；处于多点结构水平的学生对寻找量与量之间的关系、理解知识内在结构存在缺失；处于关联结构水平的学生在推理能力、关联思维方面需要锻炼。

研究中还出现了一个意外事件：有两名学生，任课教师事先给他们的数学平均成绩等级是“C”（A为优秀，B为良好，C为中下，D为差），而在这次测试中，一名学生的思维反应层次处于关联结构水平，另一名学生的思维反应层次处于抽象扩展结构水平。通过深入访谈，得知这两名学生的思维比较灵活，有时回答问题会突发奇想，与其他学生有不一样的见解。但学习态度不佳，上课经常插嘴，作业经常少做或不做，因此成绩并不理想。这一事件也恰恰表明，SOLO 分类理论能比较准确地测量出学生的真实思维水平。同时，希望教学中不能只看表面现象，要充分挖掘所有学生的学习潜力。

（三）重视几何概念教学，发展学生几何思维水平

概念，是思维的基本形式，反映了客观事物一般的、本质的特征。了解数学概念的形成，可以较好地把握学生认知与思维过程。[8]几何概念是按照一定的顺序和方向发展的，相邻概念间有着密切的关联。因此，在教学中学生是否具备同化新概念所需的知识经验，能否通过变式教学理解几何概念的内涵和外延，显得十分重要。

1.经历几何概念定义过程，提高概念同化的能力

在概念教学中，学生主动地运用原有认知结构中的相关概念知识经验，去学习和掌握新概念的方式，称为概念同化。朱乐平老师撰写的《让学生经历概念的定义过程——谈认识梯形的教学》一文中提到：根据现行数学教材的编写顺序，学生在学习梯形概念前已经掌握了四边形的概念，认识了长方形、正方形、平行四边形等平面图形，经历了从边和角两个维度观察和归纳图形特征的过程[9]。如长方形的认识，从边的维度观察“对边长度相等”，从角的维度观察“四个角都是直角”；平行四边形的认识，经历了“两组对边分别平行且相等”的探索过程。因此，梯形概念学习之前，学生已经具备了同化新概念所需的知识和经验。例如，教学时先通过图形观察建立梯形与平行四边形之间的联系，让学生自主给梯形下定义；其次比较学生对梯形的多种表达方式，归纳最本质的特征与属性；对比发现梯形概念与平行四边形概念的异同；最后进行邻近概念与从属概念的比较分类，用集合思想构建概念体系，扩大和改组原有的认知结构。基于以上思考，《梯形的认识》一课教学流程如图12所示。

图12 《梯形的认识》课堂教学流程

教学中，应该充分调动学生的主观能动性，创设让每个学生认真参与的探究活动，使梯形概念与原有认知结构中的旧知识发生相互作用，改造旧知识形成新概念，经历概念定义过程，实现知识的同化。

2.加强几何概念变式教学，突出概念的本质属性

影响学生几何概念掌握的因素主要有：概念的抽象性、概念的变式。概念的变式包括外延集合的变式和非本质属性的变式，通过各种概念变式和非概念变式，能有效增强学生对概念对角度的辨析和理解能力。[10]例如，在梯形概念教学的引入部分，可以通过具体实物图→几何图的变式，帮助学生从原有的感性经验上升到图形水平，继而为建立抽象概念奠定基础。每个概念都有一个明晰的边界，梯形的概念也不例外。掌握梯形的概念意味着能通过它的内涵去判断具体图形是否存在于这个边界内，因此非标准图形的变式对梯形本质属性的掌握尤其重要。如图13 所示，由于“梯形标准图形”容易受学生感性经验的影响，产生“先入为主”的误解，从而缩小了概念的外延。解决这个问题的方法就是加强“梯形非标准图形”的变式，通过概念变式突出本质属性。

图13 梯形概念标准与非标准图形的变式

图14 梯形的非概念图形变式

在本研究中，笔者发现学生对梯形的认识还存在误解，借助“非概念变式”可以有效地解决这个问题。如图14 所示，根据梯形与其他图形概念之间的逻辑关系，收集学生常见的错误类型，教学时运用“非概念变式”进行辨析，不仅能澄清概念理解中容易混淆的内容，正确掌握概念的本质特征，还能帮助学生建立相关知识间的联系。

3.重视几何概念体系构建，促进概念的深度理解

几何概念通常都不是孤立存在的，它们是由一系列彼此相互联系的多种概念组成的一个整体，而这个整体就是概念体系。概念体系有四种主要形式：①相邻的概念体系（如三角形和四边形）；②相反的概念体系（如正数与负数）；③并列的概念体系（如直角梯形和等腰梯形）；④从属的概念体系（如四边形、平行四边形、长方形、正方形）。[11]

例如《梯形的认识》一课教学中，结合学生已经认识的长方形、正方形和平行四边形，设计用示意图进行“四边形分类”的环节。如图15 所示，弄清概念之间的联系与区别，帮助学生进一步明确概念所包含的对象集合有一个清晰的边界。

图15 四边形关系图

利用集合图，可以直观反映概念之间的关系。如四边形是梯形的上位概念，等腰梯形和直角梯形是梯形的下位概念，平行四边形与梯形是并列关系等等。看来，几何概念体系构建的过程，能较好地帮助学生整体把握概念内部的相关性和层次性，加深学生对概念的理解。

（四）关注非常规问题的解决提升学生高阶思维

本次研究中，学生表现不佳的其中一个因素是：面对思维水平稍高的非常规情境题，不能迅速联想到解决问题所需的几何概念和性质，根据问题获取有用信息和线索的能力弱，缺乏必要的解题策略。

培养和提升学生高阶思维的一个重要特征就是在各种情境中应用数学知识解决问题。PLSA2000定义了数学思维的三个层次：第一，回忆、复制、定义和运算。第二，问题解决过程中联结不同领域知识，综合相关信息解决简单问题。第三，认识和提取镶嵌在真实情境中的数学知识，分析、解释和建立数学论断。[12]

非常规问题，指解决的问题不是对知识的简单回顾，或者模仿已有的数学解题过程（如教材例题、基本练习和教学辅导材料中常见的问题），它没有既定的模式可以套用，解决问题的方法或结果不是唯一固定的，需要学生经历一个从现实情境到数学情境的数学化过程。[13]在这个过程中，学生从具体现象中获取数学关系、规律、性质和结构，用数学的语言表达相关信息、概念，并能完整地解释其现实意义。非常规问题的解决，能够反映学生灵活应用知识分析解析实际问题的能力，充分展现学生自己设计解题策略的数学思维过程，真正从“解题”走向“解决问题”。可见，非常规问题的解决能帮助学生认识到数学的广泛性，更好地理解数学知识和方法，发展高层次思维水平。