数学结构化教学漫谈

□李加树

结构化教学是根据知识的形成规律和学生的认知发展规律，通过沟通各元素间的联系来设计教学的一种方法。列维的“结构主义”、皮亚杰的“认知结构理论”、布鲁纳的“学科基本结构”、奥苏伯尔的“有意义学习理论”、叶澜教授的“新基础教育”都是结构化教学的理论依据。结构化教学在小学数学教学中具有重要的实践价值。

一、数学结构化教学的内涵

数学结构化教学是指从数学知识结构和学生认知结构的角度设计和组织教学，旨在改善和发展学生的数学认知结构，让学生在发现和理解核心元素的过程中发展思维，培养学力，提升数学素养。数学结构化教学遵循整体性、关联性、层次性原则。

整体性。结构化教学本质上是对课程理想和教学愿景的表达，它以本真自然、生命灵动、动态建构和整体提升界定自身，强调课程与学生之间存在着一种整体方式相互渗透的转变关系。结构化教学主张“尊重整体的学生，谋求课程的统整，建构整体的教学和塑造整体的教师”，以此来培养“整体的人”。

结构性。认知心理学家奥苏伯尔指出：“学生的认知结构是从知识结构转化而来的。”学习的过程就是建构新的认知结构的过程。数学的概念、原理和规律都有内在联系，构成了学科的知识结构。即使是相同的知识结构，也有不同的教学展开结构和学习方法结构。因此，结构化教学倡导“把握知识的展开结构，洞悉教学的过程结构，明晰学习的方法结构”。

关联性。学习的使命是发现和揭示知识与知识、知识与外部世界的联系，这不仅赋予知识以价值，而且赋予学习以新的意义。数学结构化教学是知识的发生、发展和运用的过程，是师生共同建构知识意义、形成健康人格、发展核心素养的过程。它追求学生身心的关联、知识之间的关联、学生与社会生活的关联。

二、数学结构化教学的价值

《义务教育数学课程标准（2011 年版）》指出：“把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系……”结构化教学契合这一要求，对教师、学生的发展及深度教学大有裨益。

1.让教学触及本原。结构化教学要求教师从全学科、跨学科、跨领域的大视野中把握教材，有效避免“就课论课”，提升教师的专业素养。教师基于知识的整体框架对教材进行加工和重组，从知识本身的逻辑体系及知识间的内在联系出发，设计有层次性的教学，让教学真正触及知识的本原。

2.让学习真正发生。结构化教学是对知识进行模块状、网络状整理和架构，把知识结构转化为学生的认知结构。结构化教学有助于减轻学生的记忆负担，有助于学生从“学会”走向“会学”，从“浅层学习”走向“深度学习”。教学中教师通过结构化的思想设计、组织教学，有助于学生完整经历知识产生、形成、发展的过程，从中积累活动经验，感悟数学思想，把课堂真正从“双基”教学引向更深层次的“四基”教学，让学习真正发生。

3.让学生真正发展。结构化教学能根据数学的严谨性和系统性，训练学生思维的条理性和深刻性。结构化教学立足数学知识结构，拓展学生的数学认知结构，有效培养学生的结构化思维和系统化思维，提升学生的思维品质，让学生的生命质量和数学素养得到双重提升。

三、数学结构化教学的实践策略

结构化教学要有机整合“知识结构”“认知结构”，有序建构学习者的知识结构，促进知识向技能的迁移和转化，最终形成学习者自身的认知结构。

（一）梳理与整合

布鲁纳认为，知识不应当是零散的，而应当是结构化的。结构化教学要求教师立足多重视角研读教材，整体把握教材结构，整体把握知识板块，弹性设计教学课时。

1.建立“关联”。教师在学习素材的整合中，将原本孤立、分散的知识点连点成线，连线成网，建构起一个连续的知识体系，以实现知识的串联和方法的关联，加深学生对所学知识的理解，触类旁通。

例如“认识小数”的教学，教师可以利用“数位顺序表”建立整数与小数知识的关联。在学习小数时，可以利用学生已有的“10 个一是一个十，10 个十是一个百，10 个百是一个千……”的知识经验，延伸到对小数的认识：把1 平均分成10 份，1 份就是0.1，10个0.1是1；把0.1平均分成10份，1份就是0.01，10个0.01是0.1……这样，在整数和小数之间建立起关联，形成知识结构体系，学生不仅获得了数学知识，更发展了数学思维。

2.沟通“联系”。数学知识间有联系，数学方法也不例外。结构化教学，教师应引领学生探索和发现知识点之间相似的呈现过程，厘清知识的来龙去脉，实现知识点整合、知识群的构建以及多种思想方法的融合，形成一个整体的知识结构体系。

例如“多边形的面积计算”教学，教材是按照几种图形面积计算方法的内在联系安排教学顺序的。因此，教师要“着眼整体、着重联系、着力思维”，整体构建面积教学,重点关注推理能力的发展。教师既要知晓学生已学过的相关内容（学生已有的知识经验），又要思考后续学习的相关内容；既要引导学生探究多边形面积的计算方法，又要帮助学生沟通多边形面积计算公式之间的联系。在方法结构上，要求学生先动手剪拼，尝试把新的图形转化成已经会计算面积的图形，并引导学生在汇总表中填写分组测量的数据，然后提出猜想、得出结论。在“整理与练习”中，通过梳理、通融、整合，对多边形面积的计算进行重构，帮助学生理解相关面积公式的来龙去脉、发生发展，培养他们的数学推理能力和空间观念，感受数学方法的内在魅力。

3.实现“循环”。数学知识和数学方法的学习是一个循环往复、螺旋上升的过程。教师在进行结构化教学设计时，遵循“由浅入深、由易到难、循序渐进”的原则，让学生通过“认识—实践—再认识—再实践”的过程，体会和运用数学思想与方法，实现对数学知识、规律的理解，并增强对数学思想、方法、经验的领悟。

例如“数的认识”教学内容安排在不同年级的不同单元。各年级的“认识整数”教学都按相同的知识逻辑展开，无论是一年级的“10 以内数的认识”“11～20 以内数的认识”“百以内数的认识”，还是四年级的“亿以内数的认识”……都是按“数的意义─组成─数位─读写─大小比较”逻辑顺序展开的。随着认数范围的逐步展开，教师可以在适当的时机呈现整数概念知识的逻辑结构，让学生从整体上感悟，使之逐步转化为学生个体的认知结构。

（二）“教”“用”并重

1.“教结构”与“用结构”并进。“教结构—用结构”是结构化教学的核心教学策略。“教结构”的关键是让学生了解它、理解它，最终达成“用结构”。“结构化教学”视野下的“教”是为了后续的“少教”甚至“不教”。教学中，教师要让学生理解结构化知识，掌握获取结构化知识的方法，使之成为学习新知的工具。

例如“9 加几”的教学，“凑十法”是其方法结构。教学中，教师要通过“分一分、算一算、说一说”的过程，让学生掌握“凑十法”的方法结构，即让学生经历“把另一个加数拆成1和几”“先算9+1=10，再算10 加几等于十几”“说一说9 加几的规律”的过程，这是“教结构”。学生只有掌握了“凑十法”的方法结构，才能在学习“8加几”“7加几”“6加几”的时候更好地“用结构”，这样的“不教”能让学生的认知水平得以层层深化。在“教结构”的进程中，往往需要“用”到之前学过的多种结构，因此，“教”与“用”是有机交融、并行推进的。“教结构”与“用结构”能促进学生对知识结构和方法结构的掌握与建构。

2.“结构性”与“灵活性”并重。即使在相同的过程结构中，教师也应根据学习内容选择不同的教学方法。如苏教版的“运算律”，是按“感知特征—形成猜想—验证猜想—归纳概括—反思完善”的过程结构展开教学的，这有利于学生感悟从具体到抽象的认识过程，发展数学思维。在教学“加法交换律”时，教师要基于学生的认知经验，加强这一过程结构的提炼，让学生去感知和内化。学生在“用结构”的过程中，可以选择不同的策略推进结构中的某一环节。如通过对不同解题方法的交流，引出等式，由此形成猜想：交换加数的位置，和不变。通过“加法交换律”的类比猜想引出“乘法交换律”，这样不仅避免了重复，又可以通过类比猜想在加法交换律和乘法交换律之间建立起意义关联，有助于培养学生的合情推理能力，丰富和完善学生对“运算律”的认知结构。

3.“生成性”与“延伸性”并存。课堂教学中对生成性资源与知识进行有效延伸有利于拓宽学生的视界，完善学生的认知架构。例如“加法交换律”教学，学生在举例验证猜想的过程中，不仅出现了整数加法、小数加法，还出现了分数加法。这既有数域上的拓展，又有策略上的完善，最后学生用含有字母的式子“a+b=b+a”把所发现的规律表示了出来。教学至此，教师如果能将研究的视角扩展到“加数的个数”和“运算的类型”两个维度，引导学生带着新的猜想继续学习，那么学生的知识结构和方法结构会得到进一步发展。

（三）勾连与突破

布鲁纳指出，学习就是认知结构的组织和重新组织。教学中，教师要从教学内容的实际出发，通过适当的沟通、联系，引导学生主动求索、自我领悟。教师既要瞻前顾后，又要左顾右盼；既要布全局，又要抓重点；既要有所勾连，又要有所突破。

1.立足知识关联。基于学生的年龄和心理特征，数学的整体知识被分散在各年级的教材之中，因此教学时教师要从整体把握教材，找到知识间的关联。

例如“图形的测量”教学，小学阶段的内容包括长度、面积、体积、角的度量等。一般地，一维图形的测量是长度，二维图形的测量是面积，三维图形的测量是体积，它们虽然有差异，但又具有一致性：都以数量来刻画特征。“图形的测量”教学，要让学生经历用不同方式测量的过程，体会建立统一度量单位的必要性；让学生在描述现实世界的过程中，理解与把握度量单位的实际意义，感受“度量单位”的多样性和关联性，提高分析问题和解决问题的能力。

2.立足不同视角。教学中教师要引导学生多角度关注数学知识，帮助学生形成一个立体、开放、动态的知识结构。在这个结构中，相关知识可以纳入其中，知识节点可以迅捷提取，以解决相关的数学问题。例如“圆的认识”教学，教师可以呈现自行车的车轮、放大镜的镜面、橙子的剖面等图片，在这些图片中找出圆形，把教学的话题集中到圆上，再探究圆的特征；也可以围绕“学生围成圆形套圈”和“学生站成一条直线套圈”，从游戏的公平性角度引入，认识圆的特征。前者是基于生活中物体表面的圆或生活中圆的现象引出圆，认识圆的特征；后者是基于圆的本质“到定点的距离等于定长的点轨迹”引出圆，认识圆的特征。再如“三角形”的分类，按角可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，按边可分为等边三角形、等腰三角形、不等边三角形。这样系统而多元的视角，有利于学生获得对数学知识的整体感知。

3.立足相关特性。教师要善于选择相关性的教学内容，分析结构性知识板块中的知识起点、落点，保障结构性教学过程的高质、高效。比如“认识厘米”和“角的度量”，两者内容虽然不同，但有关联性（“厘米尺”和“量角器”构造原理相同，度量的设想相同）。从这个意义上说，“认识厘米”是“角的度量”的基础，让学生经历“厘米尺”的诞生过程，能帮助其理解“量角器的诞生”。学生认识到测量长度本质上就是看被测量的对象包含几个长度单位，就容易理解“量角”就是看“度量对象里有多少个度量单位”。此经验也可以直接迁移到“认识面积”“认识体积”等的学习中。

教师的结构化教学观，有助于发展学生的结构化思维，形成整体的数学认知体系；有助于师生进行深度的教与学，更好地培养学生的核心素养。