例说圆在几何问题中的一类应用

金永涛

【摘要】文中通过几个典型的高中数学实例，呈现出圆在解决解析几何、立体几何问题时，不仅为解题提供了知识基础（圆的定义、圆的方程与圆的性质），也为分析、思考、探究问题提供了重要的思维方法（轨迹分析），借助几何直观和空间想象认识问题的本质，获取解题思路.

【关键词】知识基础;思维基础;轨迹分析;几何直观;空间想象

在几何问题中，圆不仅是最基本的几何图形之一，也是对几何关系的形象刻画，更是解决几何问题的思路与方法.一方面，圆可以描述两点间的平面距离，即：半径关系;另一方面，圆可以描述角度的大小，当角度为直角时，对边就是圆的直径;此外，圆还可以描述几何图形的对称性.

圆的定义与性质在几何问题中有非常广泛的应用.文中通过几个不同的例题，分别呈现出在解决平面解析几何、立体几何问题时，圆不仅为解题提供了知识基础，也提供了分析、思考、探究问题的思维基础.

一、圆在解析几何中的应用

例1 已知点A（-1，-1），若曲线G上存在两点B，C，使得△ABC为正三角形，则称曲线G为Γ型曲线.给定下列三条曲线：

① y=-x+3（0≤x≤3）;② y=2-x2（-2≤x≤0）;③ y=-1 x（x>0）.

其中，Γ型曲线的个数是（  ）.

A.0

B.1

C.2

D.3

解析 正三角形，即：顶角为60°的等腰三角形.在①中如图1所示，AD=AE60°，线段上一定存在两点B，C，使得△ABC为正三角形，该曲线为Γ型曲线.

在②中如图2所示，点A与曲线均在圆x2+y2=2上.从图形上观察，觉得不能存在正三角形的情况，怎么准确地说出原因呢？我们知道正三角形对三条边长与三个内角都有明确的要求，观察图形找到不满足的量与关系即可.比如，点A对应的最大内角∠DAE=45°，则曲线不是Γ型曲线.大家还可以思考其他不满足的关系还有哪些.

在③中如图3所示，判断是否存在正三角形不容易直接识别，可以先判断能否存在等腰三角形，再进一步判断能否存在正三角形.思考：

（1）怎么构造等腰三角形？

（2）在熟悉的图形中，什么图形可以呈现“等腰”？

（3）具体怎么操作，如何作图？

（4）如果等腰三角形条件满足，怎么进一步判断正三角形条件？

通过问题引导，回顾相关知识与方法，确定解答思路：以点A为圆心作圆，使其与曲线相交得到等腰三角形△DAE.当半径逐渐增大时，∠DAE从0°到90°逐渐增大，则存在两点B、C使得∠BAC=60°的情况.该曲线为Γ形曲线.

二、圆在立体几何中的应用

例2 设l1，l2，l3为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线.给出下列三个结论：

① 存在Ai∈li（i=1，2，3），使得△A1A2A3是直角三角形;

② 存在Ai∈li（i=1，2，3），使得△A1A2A3是等边三角形;

③ 三条直线上存在四点Ai（i=1，2，3，4），使得四面体A1A2A3A4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.

其中，所有正确结论的序号是（  ）.

解析 题目中描述的背景几何体是直三棱柱，且底面三角形的边长分别为4、5、6.

在①中，实现“直角”的方式是固定直径作圆（或球）.设l1到l2、l3所在平面的距离为d，在l2、l3上各选一点A2、A3满足|A2A3|≥2d，以A2A3为直径作球，与l1必有一个公共点A1，则A2A1⊥A3A1.

在②中，为了判断是否存在等边三角形，先考虑等腰三角形.以其中一条直线上的一个点为球心作球与另两条线相交，从而确保等腰三角形.为使顶角能够取到60°，在距离为6的两条平行线的对边上选一个点作球，则等腰三角形的最小腰长为5，且此时的顶角大于60°.当球的半径不断增大，顶角不断减小至无限接近0°，所以，存在顶角等于60°的情况，而且存在两组位置可以构成正三角形.有兴趣的话，可以思考从其他直线上选定一点是否也可以构成正三角形？

命题③，比较容易说明不成立.

当然，例题2的解答思路并不唯一，大家還可以借助垂直与平行关系对问题加以解决，此处不再赘述.

三、“圆的思维”在几何问题中的应用

例3 在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点.定义P（x1，y1），Q（x2，y2）两点之间的“直角距离”为d（P，Q）=|x1-x2|+|y1-y2|.

（1）若点A（-1，3），则d（A，O）=;

（2）已知点B（1，0），点M是直线kx-y+k+3=0（k>0）上的动点，求d（B，M）的最小值.

解析 （1）d（A，O）=4;

（2）圆的定义，不仅为数学学习提供了一个重要的几何图形及性质，也为数学学习提供了一个重要思维与研究思路.类比圆的定义，在平面直角坐标系中，探究“到定点的‘直角距离等于定值的点的轨迹”是什么曲线，该曲线有什么规律.

探究活动一：判断到点B（1，0）的“直角距离”等于1的点的轨迹.曲线方程为|x-1|+|y|=1，根据对称性，判断出：曲线是以点B为中心，四个顶点的坐标分别为（0，0），（1，-1），（2，0），（1，1）的正方形，如图5所示.

探究活动二：判断到点B（1，0）的“直角距离”等于a（a>0）的点的轨迹.曲线方程为|x-1|+|y|=a，根据对称性，判断出：曲线是以点B为中心，四个顶点的坐标分别为（1-a，0），（1，-a），（a+1，0），（1，a）的正方形，其中，四条边所在直线的斜率分别为±1，且对角线长为2a，如图6所示.

在判断出上述曲线的轨迹及变化规律的基础上，还知道直线kx-y+k+3=0可以整理成y=k（x+1）+3，即：直线经过定点P（-1，3），如图7所示.随着到点B的“直角距离”逐渐增大，正方形边长不断增大，首次与直线相交时，即为所求.由k>0，要比较直线的斜率k与1的大小关系.

当k≥1时，设直线与x轴的交点为C，则C-1-3 k，0. 由图可知

dmin（B，M）=d（B，C）=3 k+2;

当0

dmin（B，M）=d（B，D）=2k+3.

综上，dmin（B，M）=2k+3，0

例题3的思考与解析，得益于对“直角距离”对应的点的轨迹及其规律的分析与判断.“轨迹法”为几何问题的解答提供了更高层次的分析与思考，通过几何直观和空间想象，认识问题的本质，得到解决问题的正确方法，是数学抽象素养与直观想象素养的集中体现.