应用型本科高等数学课程中翻转课堂教学模式设计

吕凤姣 刘洁

关键词：翻转课堂;高等数学;二重积分;自主学习

一、引言

翻转课堂是一种新型的教学模式，它由“Flipped Class?room”翻译而来，也可翻译为“颠倒课堂”，颠倒了传统教学中“老师先讲，学生再学”的教学过程，是指重新调整课堂内外时间的学习安排，让学生课前先进行自主学习，课堂上老师再针对学生预习过程中出现的问题答疑解惑，更有侧重地讲解知识点，以加深学生对本节知识的深刻理解和掌握[1]。

根据应用型本科高校人才培养的要求，在面对当前高等数学课程课时不足，教师教学任务重的情况下，思考与探索高等数学课程教学改革的模式与方法是形势所趋。而且当代大学生都具备一定的信息化应用技术，更有利于推行翻转课堂模式教学，既满足学生的好奇心，实现线上教学与传统教学模式的有机结合，又可以促进教学方式创新，提高教学质量。目前，翻转课堂教学模式已经成为许多老师在各学科教学过程中常用的教学方式，而且也取得了一定的成果[2-4]。接下来以高等数学课程中“二重积分的概念”为例，把以问题主导的翻转课堂教学理念融入到高等数学教学中。

二、翻转课堂的教学设计

（一） 教学背景

二重积分是高等数学中多元函数积分学中的一个基本又非常重要的概念，它和前面学习过的二元函数的极限和连续性、偏导数及其应用，以及后面要学习的三重积分、曲线和曲面积分等相关教学内容密切相關[5]。二重积分主要是二元函数在平面区域上的积分，同一元函数积分学中的定积分类似。二重积分的计算需要转化为两次定积分来完成，在直角坐标系下或者极坐标系下通过选择积分区域D的类型，将二重积分转化为两次定积分，进而通过计算两次定积分计算出二重积分的值。二重积分在几何、物理等方面都有着广泛的应用，比如，可以用来计算曲面的面积，求解平面薄片的重心、转动惯量等。但二重积分的概念较为抽象，概念中蕴含了丰富的近似与精确、有限与无限等对立又统一的辩证思想，理清它们之间的辩证关系有利于培养学生的辩证唯物主义思想。

二重积分的概念要通过解决两个经典的引例，即在几何学中的求曲顶柱体的体积和在物理学中的求平面薄片的质量这两个问题来导出。而这个概念的导出过程如果仅仅依靠直观地模仿定积分的“分割（化整为零） —取近似（以直代曲） —求和（积零为整） —取极限（无限逼近） ”这四个步骤的思想来讲授，学生很难有深层次的理解。而实施翻转课堂的教学模式，老师根据教学计划提前准备微视频、课件、本节课学习任务单等教学资料，并通过“翻转校园平台”给学生安排课前学习任务，这样学生在课堂之前就完成了自主学习，同时，将答疑解惑、讨论互动等更具针对性的学习环节引入课堂之中，更有利于使学生从以往的消极被动听课的态度转变为积极主动地学习[6]。这种颠倒课堂的教学模式实现了线上线下学习的有机融合，更加注重对学生自主学习习惯的激励引导和形成，是提高教学效果的一种有效手段。

（二） 课前任务安排

翻转课堂是一种新型的课堂教学理念，其教学模式要将教学过程分为两部分，包括课堂下的“知识传递”过程和课堂上的“知识内化”过程，所以，老师不光要精心准备课堂上要讲解的课程内容，还要花精力和时间认真准备课前任务的设计安排。

1、学情分析。二重积分的概念和性质是高等数学下册要学习的内容，安排的课堂教学课时为2学时。授课对象为计算机、软件工程、车辆工程、土木工程等理工专业的一年级学生，学生在第一学期已经学习了定积分的概念和计算，而且前面刚刚学习了二元函数的极限和偏导数的概念和计算，这都为二重积分的学习以及翻转课堂的实施奠定了良好的基础。同时，学校所有师生的手机都已安装了翻转校园APP教学平台，并且经过几年的实践，已经熟练掌握里面的学习界面和操作规范，这为课程教学资源的发布和获取，学生的网络在线学习，课堂小测验的实施，课堂上师生的互动以及学生的互动交流等翻转课堂各个环节的顺利进行提供了有利条件。

2、课前导学安排。首先，老师根据本节课要学习的知识点，制定学习任务单，内容主要包括老师提出的四个“基本问题”。一是二重积分的概念和本质是什么;二是二重积分具有什么样的几何意义和物理意义;三是二重积分的概念与定积分的概念之间的联系;四是二重积分可以解决怎样的实际问题。老师将精心准备的课件、教学视频、学习任务单等通过翻转校园教学平台、QQ 群、微信群等平台进行发布，便于学生课前学习。学生可以查阅相关在线课程资料，并结合老师提供的学习任务单中的基本问题进行课前预习，熟悉本节课的知识要点。另外，老师还有一个任务是将本班分成若干个学习小组，学生以小组为单位进行学习探究，并选出合适的小组长，小组长的职责是组织和督促组员的自主学习，并对本组的课前学习情况进行记录整理。在整个课前预习的过程中，老师可以通过翻转校园、腾讯课堂等教学平台掌握学生的进展情况。

（三） 课堂设计环节

翻转课堂教学模式在课堂中主要是通过组织学生对课前学习的成果以小组的形式进行汇报，老师结合学习任务单以及小组讨论汇报的情况进行答疑解惑，最后归纳总结，实现知识的内化和拓展，并达到课前预定的教学目标。具体可以安排四个教学环节。

第一步，师生互问，引导思路。根据课前提供的基本问题清单和学生预习过程中遇到的疑问知识点，进行师生互问式的学习。学生可以向老师提出自己的疑问点，老师也可以根据学生的问题反过来提问学生，在互问的过程中加深学生对知识的理解。通过学习汇报，发现学生存在的疑问主要集中在：对两个引例求解思想方法的理解、二重积分的概念、二重积分几何意义的应用等方面。为了更好地解决学生的疑问，老师可以先引导学生回忆以前学过的知识，如平顶柱体的体积和均匀分布的平面薄片的质量求解方法，然后，结合定积分求解曲边梯形问题的思想，引导学生思考不规则的曲顶柱体的体积如何可以转化为规则的平顶柱体的体积，结合直观的PPT 动图效果，会发现都需要通过分割（化整为零） —取近似（以直代曲） —求和（积零为整） —取极限（无限逼近） 这四步来解决，这也是对“非均匀分布的求和”问题的求解思路。

第二步，通过小组讨论发言探究过程。每一小组学生可以通过小组成员或组间成员相互讨论交流总结的方式，对上一步师生互问的探究问题协作完成，在此期间，学生可以反复查看教学资源。老师可以借助于翻转校园平台讨论区的发言情况随时了解各小组的讨论动态并加以指导，如果发现个别同学的回答不够准确，也可以单独回复指导。接下来，引导学生先去探究“求曲顶柱体的体积和求非均匀平面薄片的质量”这两个不同领域问题的求解方法和求解步骤的共同点，去体会分割到很细很细时，和值极限与近似求和的联系和区别，再抛开两个引例问题的实际意义，抽象出和式极限的共同结构特征，引导学生认真比较和这两个公式，并思考有什么样的发现，学生通过相互讨论交流的过程，不仅加深了对于二重积分概念中所蕴含的数学思想的理解，而且有利于培养学生的批判性思维和团队合作精神，也有利于提高学生的沟通表达能力。

第三步，梳理讲解归纳。学生以小组为单位展示自己的自学成果，在所有小组都表达完自己的观点后，老师对各个小组的学习工作进行逐一分析点评，肯定成绩的同时，也指出他们的不足。针对学生课前学习集中面临的重点问题，老师对各知识点进行有针对性的梳理和讲解。讲解的重点有二重积分概念提出的背景，对于求曲顶柱体的体积和求非均匀平面薄片的质量这两个经典问题的步骤的共同点，并强调指出二重积分就是和式的极限值的积分表示法。从而引导出二重积分的概念。

第四步，拓展书本知识，加强理论联系实际。在理解了二重积分的概念和几何意义的基础上，老师布置课堂練习，利用二重积分的几何意义计算下列积分值。

让学生通过做题进一步巩固所学的理论知识。除了掌握基本知识外，重要的是还要学会如何根据所学的理论知识去解决具体的实际问题，以突出二重积分概念的实际意义，让学生感受到数学知识的实用性，从而提高学生学习数学的兴趣。此外，进一步拓展二重积分在自然科学、工程技术和经济学等领域中的应用[7]。比如，对于学术报告厅的观众席大厅设计、体育馆的比赛场地大厅设计，还有些公共设施建筑物的曲顶顶部设计，不仅要求建筑物的外观设计得漂亮，还需要考虑声音的传播效果，空气的流通质量，所需原材料的成本等实际问题，因此，需要计算它们的容积大小和表面积等等。这些都需要用到高等数学中的二重积分知识。

（四） 课后任务

老师在翻转校园教学平台上布置课程作业和练习，引导学生结合课前预习的笔记，完善本节知识内容的思维导图，将所学内容和课上心得体会整理成一篇报告，以加深学生对二重积分概念的理解。另外，鉴于二重积分在很多领域的广泛应用，要求学生结合自己所学的专业，思考二重积分在本专业领域中的简单应用，可以通过图书馆和网络查找与本专业相关的案例提交给老师。这项作业由学生根据自身的学习情况选做，作为平时成绩考核的一项依据，这样也督促学生把功夫用在平时，重视平时学习成果的积累。

三、结语

在高等数学的教学过程中采用翻转课堂的新型教学模式，打破了传统课堂的单一式教学，学生由被动学习变成了积极主动学习，成为了学习的主体和中心，老师变成了学生建构自身知识体系的引导者和帮助者。翻转课堂教学模式可以弥补传统教学方法的不足，有利于提高教学质量和效果，但是也存在一些缺点，比如，较适应于小规模人数的班级进行教学，较适应于课程中的部分内容（知识点较少、理论性不太强的内容） 进行教学，而且对学生总体的学习成绩容易造成两级分化（学习能力较强的学生学习效果更好） 等等。因此，在教学中采用任何教学模式都必须遵循客观性原则，要根据课程内容和学生的实际情况，选择合适的教学模式和教学方法[8]。要使翻转课堂教学模式真正成为一种有效的教学方法，教师和学生都必须全心投入，提高自身的专业和综合素质，迎接学习中的挑战和困难，共同探索和实践，最终实现教与学的互利共赢。