智慧却在预设与生成的碰撞处——以“一次函数的图象和性质”复习课为例

福建省厦门市湖里实验中学 阮玉英

《义务教育数学课程标准》（2011年版)指出，数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维。因此在教学中，教师除了要注重课前精心的预设，更要关注课堂绝妙生成这一动态过程。教师在备课时要预设一些能启发学生思维的问题或问题串，让学生积极参与，达到探究的开放性，并进一步拓展延伸。下面以“一次函数的图象和性质”复习课为例，谈谈在初三复习过程中，教师应如何精心预设才能与学生的生成碰撞出智慧的火花。

一、预设开放性问题

(一）知识的回顾

一次函数是函数教学中最基本的一类函数，是数形结合的典型之一。我所教的学生是所在学校初三走班分层教学中的基础班同学，学生已复习完函数的概念和反比例函数，因此在这一环节中预设引导学生类比反比例等函数，举出几个一次函数的例子和画一次函数示意图来帮助学生思考它们的异同点，更容易理解。

【问题呈现】问题3.若将一次函数上下平移，它的解析式会有什么变化？两条直线平行，k和b各有何变化？

（二）典型例题

在典型例题的探究环节，教师同样也是预设开放性的问题，学生的生成非常精彩，有些还是在预设时没想到的。

【问题的呈现】例1.请你在坐标系中画出过点A(-2，- 1 )，B( 1，2 )的直线，并求出直线AB与x轴的交点C是_________，与y轴的交点D是_________.由图中的交点、交点，我们还可以求些什么相关的量？还可以作哪些设问？我们一起来探究一下.

【预设与生成】学生1（运算技能）：用待定系数法求出的AB的解析式y=x+ 2中，令y= 0时，可以求出C(-2，0)；令x= 0时，可以求出C(0，2).(如图1）

学生2：由CD的坐标，可以求出线段OC、OD、CD的长。学生3：还可以求出三角形OCD的面积和周。学生4：可以求三角形OCD中CD边上的高OQ，恰好也是中线。

图1

学生5（与相似叠加）：可以运用相似求CD边上的中点Q的坐标。（中点我在预设时没考虑到，学生的生成很棒，刚好可以与相似叠加）

学生6（与三角函数叠加）：可以运用三角函数求出∠OCD=45°。学生7：不用三角函数也可以求出。教师：怎么求？根据是什么？学生7：由以上OC、OD长，可知OC=OD，因此三角形OCD是等腰直角三角形，所以可以得出∠OCD=45°。教师：学生7的方法很不错，提醒我们解题时要注意是不是特殊三角形，要关注30°、45°、60°，思考能不能用三角函数解决问题。

【问题的呈现】追问1：在求点C 和点D 时，利用了一次函数与方程的关系来解决。同学们想一想，一次函数还与哪个知识有关系？

【预设与生成】学生8（与不等式叠加）：可以利用图象，求当x为何值时，y＞0、y= 0、y＜0。

二、预设动态问题

（一）动点

【问题的呈现】追问2（与等腰三角形叠加）：若x轴上有一点P，使得ΔPCD是等腰三角形，则点P的坐标为多少？

【预设与生成】学生9：根据三角形是等腰三角形，我认为应分为三类：①CP=DP⇒P1(0，0)；②

教师：学生9你真棒，能想到等腰三角形的分类标准，大家要懂得做类似的题时用数形结合的方法来帮助我们解题。请问就这三种答案吗？通过刚才的几何画板展示，同学们还有其他不同的想法吗？

学生10：教师，我认为总共有四种情况，还有一种情况：当CD=CP时，点P 还可以在点C 的左侧，因此得出第四种情况

教师：没错，学生10补充得很完整，综上所述：

解答（分类讨论）：

在课后拓展环节中，也设计了一个动态的问题。

（二）动直线

【问题的呈现】问题4.已知：直线y1=kx+b与直线y1= 2x+ 4 相 交 于 点A( 1，a)，且 与y轴 交 于 点

（1）求k，b的值以及A点的坐标；（2）已知直线y=m(m＞0)与直线y1=kx+b相交于点M，与直线y2= 2x+ 4相交于点N，若MN= 4，求m的值。

【预设与生成】在两条相交直线的基础上，再加入一条动直线，通过动直线的运动，渗透分类讨论思想。讲解时注意训练学生的画图，识图技能及推理技能，有些同学可能会画错直线y=m(m＞0)，与直线y=x混淆；大部分学生想不到这题需要分类讨论。通过作图，找出基本图形，运用所学知识，发现图形的变化，定好分类标准，进行分类讨论。通过几何画板的演示，让学生掌握数形结合思想，使动态的情况更直观。能培养学生几何直观，训练学生的识图画图技能、推理技能及综合运用的能力。

小结：通过学生的动手作图，找出基本图形，运用所学知识，发现图形的变化，定好分类标准，进行分类讨论；在课堂中整合信息技术——几何画板，让学生掌握数形结合思想，使动态的情况更直观。达到培养学生几何直观，训练学生的识图画图技能、推理技能及综合运用的能力。

三、预设变式问题

教学典型例题2 时，教师设计的是两条相交的直线，接下来在这基础上进行一定的变式，展示丰富多彩的函数和图形世界，也可以更进一步地拓展学生的思维。

【问题的呈现】若增加一条直线y=-x- 4 与直线AB 相交于点E，与y轴交于点G，这里有相等关系和不等关系吗？

【变式】追问：可将直线y=-x- 4变式为其他函数或图形呢？同学们马上按合作的小组展开积极的讨论：有的小组说变式为反比例函数；还有小组说变式为二次函数也可以；有一个同学甚至说到了，变式为圆就可以讨论直线与圆的位置关系了；师生还一起说与三角形，四边形这样的几何图形相交也是可以的。最后引导学生作小结：两线相交，可以是两条直线相交，也可以是一直一曲相交，直线还可以和其他几何图形相交。

四、预设知识网络建构

一节课的学习和讨论结束后，组织学生进行了归纳和小结：一次函数是一条直线，不仅两点确定一条直线，直线上还有无数个点，因此我们先从最基本的图形点开始研究。有与坐标轴的交点，有一条线段的中点，有两个函数的交点，有运动的点；点运动成线，可以是直线、线段、射线，还可以是双曲线、抛物线、圆；线再围成三角形、四边形等，可以求周长、面积，还可以构造不等关系、构造全等、构造相似；还可以让线动起来……因此在初中阶段，尤其是初三总复习阶段，教师应认真研读教材，从学生的最近发展区入手，用心设计各个技能的叠加，整合信息技术，构建知识网络，引导学生积极开展探究活动。