例谈含参二次函数最值问题的求解策略

李明刚

摘要：闭区间上二次函数的已知最值求参数问题最基本的求解策略是：利用数形结合的方法，对图像的对称轴与自变量取值范围的位置关系进行分类讨论。借助此策略，具体解决“定范围动轴”问题和“动范围定轴”问题。

关键词：二次函数 参数 最值 分类讨论

二次函数的最值问题，尤其是闭区间上的最值问题，无论是已知二次函数求最值，还是已知最值求（二次函数中的）参数，都是中考的一个热点。原因在于其能够综合的内容比较多，也足够复杂。

对于闭区间上的二次函数y=c（x-m）2+n（a≤x≤b），已知参数求最值，较为简单;而已知最值求参数，则让很多学生头疼。其实，后者（即含参二次函数的最值问题）最基本的求解策略是：利用数形结合的方法，对图像的对称轴与自变量取值范围的位置关系进行分类讨论。一般地，可以分对称轴在自变量取值范围的左侧（m≤a）、中间（a

下面，对此类问题的求解策略，分“自变量的取值范围给定（不含参），图像的对称轴变化（含参）”“图像的对称轴给定（不含参），自变量的取值范围变化（含参）”两种常见题型，具体举出无现实背景和有现实背景的例子来充分说明情况。

一、“定范围动轴”问题

例1（2018年潍坊市中考数学卷第9题改编）已知二次函数y=-（x-h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，函数值y的最大值为-1，则h的值为。

根据上述求解策略，分三种情况讨论：

（1）当h≤2时，可得当x=2时y取最大值，即有-（2-h）2=-1，解得h1=1，h2=3（舍去）;

（2）当2

（3）当h≥5时，可得当x=5时y取最大值，即有-（5-h）2=-1，解得h3=4（舍去），h4=6。

综上，h的值为1或6。

例2（2017年扬州市中考数学卷第27题改编）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表1。若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a>0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司日获利的最大值为2430元，求a的值。（日获利=日销售利润-日支出费用）

表1

销售价格x（元/千克）3035404550日销售量p（千克）6004503001500解答本题，首先要根据题意，得出日获利w与销售价格x之间的函数关系式。为此，可以先根据表1，得到日销售量p与销售价格x之间的函数关系式p=-30x+1500，再根据日获利=日销售利润-日支出费用，得到w=p（x-30）-pa=（-30x+1500）（x-30-a）=-30x2+（2400+30a）x-（1500a+45000）。其图像的对称轴方程为x=-2400+30a2×（-30）=40+12a。

接下来，根据上述求解策略，分三种情况讨论：

（1）当40+12a≤40时，a≤0，与题意不符;

（2）当40<40+12a<45时，0<a<10，可得当x=40+12a时w取最大值，即有3014a2-10a+100=2430，解得a1=2，a2=38（舍去）;

（3）当40+12a≥45时，a≥10，可得当x=45时w取最大值，即有2250-150a=2430，显然与题意不符。

综上所述，a的值为2。

二、“动范围定轴”问题

例3（2018年黄冈市中考数学卷第6题改编）当m≤x≤n时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，最大值为4，求m、n的值。

根据上述求解策略，分三种情况讨论：

（1）当m≥1时，可得当x=m时y取最小值，当x=n时y取最大值，即有（m-1）2=1，（n-1）2=4，解得m1=2，m2=0（舍去），n1=3，n2=-1（舍去）;

（2）当m<1

（3）当n≤1时，可得当x=m时y取最大值，当x=n时y取最小值，即有（m-1）2=4，（n-1）2=1，解得m1=-1，m2=3（舍去）;n1=0，n2=2（舍去）。

综上，m=2，n=3或m=-1，n=0。

例4（2018年福建省中考数学A卷第23题改编）如图2，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN。某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN。已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏。若矩形菜园ABCD面积的最大值为1200平方米，求a的值。

解答本题，首先可设AD=x m，根据题意得到矩形面积S=x100-x2=-12（x-50）2+1250（m2）。根据题意可得：

（1）若a≥100，则0

（2）若0

①当50

②当0

综上，a=40。