浙江金华第一中学 (321015) 吴贤盛
平面向量是高考命题的基本考点,命题形式一般以选择题与填空题为主,平面向量数量积是命题的重点内容,主要涉及平面向量数量积的运算、模的运算、夹角的运算和与平面向量数量积有关的参数问题.那么这类问题有哪些解法呢?让我们一起来探究2019年的一道高考题.
这是一道求向量夹角的平面向量数量积问题,题面十分简洁,却渗透了数学运算、直观想象的数学核心素养,考查了考生的转化能力.那么解答这道题有哪些思路呢?
思路1:直接利用平面向量的夹角公式.
思路2:通过建立直角坐标系转化为解析几何问题
图1
点评:把向量问题坐标化,就是利用数形结合思想,将平面向量问题转化为坐标运算问题.本题采用坐标法之后大大减少计算量,体现了平面向量的几何意义的灵活应用.
思路3:转化为解三角形问题
点评:由向量的加减法的几何意义,把原问题转化为解三角形问题,也是一条非常有效的解题思路,由此可见“由数思形”,多方联想.
图2
点评:向量是“数”与“形”的统一体,为了同时考查向量的“数”、“形”特征,试题往往以向量的数量积背景,考生需要深挖向量数量积的几何意义,找到解题思路,或利用转化思想,将向量的最值问题转化为三角函数的最值问题,以考查考生思维的灵活性.选择不同转化思路,会得到不一样的解法.
以上三个变式再次告诉我们:当数量积问题中给出的题设条件中含有基底向量时,一般采用定义法,这类问题一般难度不大.而当数量积问题的条件中只给出关于几个向量的条件等式时,一般需利用根据向量及其运算的几何意义,利用转化思想转化为其它数学问题来解决.