引导学生在过程中感悟数学思想

【摘 要】 数学思想是人们进行数学活动时所表现出来的数学观念及思维方式，是以显性知识为载体的重要数学基础知识.学生对数学思想的理解和掌握不是教师渗透给的，而是学生在学习知识和应用知识解决数学问题及其他问题的过程自己感悟得到的.学生感悟数学思想的根本途径就是经历知识的形成过程和应用过程

【关键词】 数学思想;渗透;感悟;过程

关于数学思想教学的问题是一个古老的问题，笔者研究发现，在众多著作（文章）中对于数学思想的学习都是用“渗透”表述的.笔者认为，学生对于数学思想的认识、理解是一个自主的感悟过程，不是外部渗透给学生的.

1 深入认识三个关键词

1.1 数学思想

数学思想是指人们在从事各种数学活动时，所表现出来的种种数学观念及思维方式[1].学生在初中阶段应学习的数学思想主要有：（1）数形结合思想;（2）分类讨论思想;（3）函数思想;（4）方程思想;（5）转化思想;（6）模型思想;（7）联想、类比思想等

例如，方程思想就是指把所研究问题中的已知量与未知量之间的等量关系，转化为方程，从而达到解决数学问题的一种思维方法[2].这种思想隐含在建立各种具体方程解决实际问题的过程之中

（1）数学思想是数学知识

《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称《课标（2011年版）》在课程的“总目标”中提出了三条要求，其中的第一条是让学生“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验[3]”.数学思想同数学概念、定理、法则、规律以及描述它们的数学语言一样，都是数学基础知识，是数学核心素养的重要组成部分

方程是“数与代数”方面的重要知识，《课标（2011年版）》对方程（组）的整体要求是“能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型[3]”.史宁中教授指出“模型思想是指能够有意识地用数学的概念、原理和方法，理解、描述以及解决现实世界中一类问题的那种思想”[4].数学中的很多问题都可以通过建立方程模型解决，这个过程中表现出来的方程思想是重要的数学基础知识

（2）数学思想“隐含”在具体的数学知识之中

“数学思想是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括”[3]，数学语言、数学概念、数学定理等都是“看得见”的具体知识、显性知识，这些显性知识是数学思想的“载体”、“外壳”、表现形式和使用结果;数学思想是通过具体知识体现出来的.学生脱离了对具体知识的学习或运用是无法认识和理解数学思想的

初中阶段学生学习的方程包括：一元一次方程、一次方程组、分式方程和一元二次方程.对于每种方程的学习都是按照下面的流程进行的（图1）.

实际问题引入方程概念研究方程解法建立方程模型解决实际问题图1

这个流程分为“方程概念—方程解法—方程应用”三部分，方程思想就“隐含”在方程概念的形成过程以及建立方程模型解决实际问题的过程之中，学生对方程思想的体会和理解也是在这个过程之中实现的.

（3）学生对数学思想的理解是一个过程

数学思想不像具体的“显性”知识那样，学过后能一次基本定型.学生对数学思想的认识是一个“螺旋上升”的过程

例如，学生在学习一元一次方程概念时，就能基本理解一元一次方程，但对于方程思想几乎没有印象.随着对一次方程组、分式方程和一元二次方程的学习，学生对方程的认识程度在加深，对方程思想的认识也在逐步提高.

1.2 渗透

渗透最初指的是水分子经半透膜扩散的一种自然现象.发生渗透的条件有二：一是有一层水能透过的膜;二是这层膜的两边有两种不同浓度的溶液.水会从溶液浓度低的一侧向溶液浓度高的一侧移动，这就是正渗透.正渗透是由于水中的离子之间存在着“渗透压”导致的一种自然扩散现象，正渗透是不需要外力就能发生的

反渗透则是克服这种“渗透压”，让水从高浓度一侧的溶液向低浓度溶液移动，反渗透需要克服“渗透压”才能发生，即反渗透是在“外力”作用下进行的

在工作和学习中，常把渗透看成是某种事物或势力逐渐进入其他方面的一个过程.比喻一种思想或势力逐渐向其它方面扩展

数学思想是以具体知识点为“载体”的，当学生学习具体数学知识时，这种知识载体所“承载”的数学思想在教师的反复“要求”“强化”下，被“强制性”的“外加”到学生的知识结构中来，这种认识数学思想的过程，不妨认为是“反渗透”的过程.在这个过程中，学生是被动的“接受者”.笔者认为，对于数学思想的教学，不宜采用“渗透”的方式.根据如下：

“渗透”这个动词，《课标（2011年版）》中只出现过一次，原文是“数学文化作为教材的组成部分，应渗透在整套教材中（《课标（2011年版）》P63）”.这句话是在“教材编写建议”中出现的，“强调”的是在教材编写过程中，应根据具体内容及时的“穿插”一些有关数学文化的素材，并不是针对“数学思想”而言的.

1.3 感悟

感悟是指人们对特定事物或经历所产生的感想与体会.感悟的主体是人，在数学教学中，学生对数学思想的学习应该用感悟.这种提法符合数学思想的特性，体现了《课标（2011年版）》的理念和要求：

《课标（2011年版）》中共提及“感悟”25次，其中非常明确的用于数学思想方面的有六次，这六次主要体现在《课标（2011年版）》要求的“教材编写建议”和“教学建议”中：

在教材编写建议中出现一次，即教材应当根据课程内容，设计运用数学知识解决问题的活动.这样的活动应体现“问题情境─建立模型─求解验证”的过程，这个过程要有利于理解和掌握相关的知识技能，感悟數学思想、积累活动经验（《课标（2011年版）》P64）

在“教学建议”中出现五次，仅仅P46页就出现3次（P43和P44各1次），即：

第四个教学建议的标题是——感悟数学思想，积累数学活动经验

在标题下的具体论述中又两次提到：

第一，要求学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想

第二，针对分类思想的教学过程指出，教学活动中，要使学生通过多次反复的思考和长时间的积累，逐步感悟分类是一种重要的思想

可见，《课标（2011年版）》要求我们在针对数学思想的教学中，应该用“感悟”而不是用“渗透”

学生对方程思想的感悟应当是在学习一元一次方程、一次方程组、分式方程和一元二次方程的过程中逐渐实现的.

2 经历过程是学生感悟数学思想的根本途径

《课标（2011年版）》在“教学建议”中指出“数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中……学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想”[3].这句论述向我们指出了学生感悟数学思想的根本途径就是经历过程，这里的过程指知识的形成过程和应用过程

下面谈谈学生感悟方程思想的两个根本过程.

2.1 建立方程概念的过程

数学概念的建立是一个过程，大致需要经过“感知—分析—概括—表述”四个阶段，首先教师要创设问题情境，引导学生在对客观事物进行思考的基础上形成感性认识，然后给出几个具有这种“特性”的“结构式子”，讓学生进行分析思考，并抽象概括出事物的本质，最后给出规范的数学定义.教学中引导学生完整经历上述四个阶段，学生不仅能理解、掌握数学概念，而且还能感悟到“隐含”在这个数学概念之中的数学思想和方法[5]

案例1 一元一次方程概念的建立过程

图1所示的学习流程分为“方程概念—方程解法—方程应用”三部分，不论对哪种具体方程的学习都需要若干个课时才能完成，第一课时只要能引导学生建立起方程的概念即可

一元一次方程概念的建立，可用下面的问题引导学生去经历“思考”“探索”等活动：

请同学们用火柴棒搭建图2所示的一系列“日”字图形，并回答下面的问题：图2

（1）如果要搭建图2（1）所示的一个“日”字，需要根火柴棒;如果要搭建图2（2）所示两个“日”字，需要根火柴棒

（2）按照这个方法继续搭建下去，在实际操作的基础上，填写下表：

（3）如果用x（x是正整数）表示所搭建“日”字图形的个数，则所需火柴棒的根数是 .你是怎样得到的？相互交流自己的结论

（4）如果用60根火柴棒，能搭建x个“日”字，你能得到一个怎样的等式？

设计意图 根据数学教学所“呈现素材应贴近学生现实”[3]的要求，我们设计了上面的实验探究活动.这个活动由（4）个问题构成：前两个小问题是为了引导学生通过搭建“日”字图形的实际操作活动，得到所需火柴棒的根数.第（3）个问题是让学生在思考问题（1）（2）的基础上探索发现规律：搭建x个“日”字图形，需要（5x+2）根火柴棒.有了这个规律很容易得到问题（4）的答案为60=5x+2

教师要抓住这个等式，和学生一起共同分析它的特点，并鼓励学生再写出三个具有该特点的等式（例如，12x=4，3y+2=10，a-5=21），在此基础上抽象概括出一元一次方程的定义

教师在教学中如果给出一元一次方程概念就结束的话，就没有很好的挖掘、发挥出这种导学设计的价值，这种设计的意义有三：（1）给出一元一次方程概念;（2）认识一元一次方程的本质，关于方程的本质问题还有很多老师搞不清楚（误认为：含有未知数的等式是方程的本质）.从图1可以看出，对于方程的学习都是从实际问题开始的，最后落脚于用建立方程模型解决实际问题，所以方程的本质是求未知数的值，方法是借助未知数所满足的关系将它“求”出来;（3）让学生初步感悟方程思想（只有学生按照图1的程序学习完一元一次方程的内容后才能真正感悟到）和数形结合思想

对于后面几种方程概念的建立过程，也都要按照从“实际问题出发—引出方程概念”的程序进行，这样学生不仅能学习到具体的方程概念，而且对于方程思想的认识、感悟程度也在不断的加深.

2.2 建立方程模型解决实际问题的过程

《课标（2011版）》在具体阐述课程目标时，针对“问题解决”提出了“四条”要求，其中之一是“初步学会从数学的角度发现和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力”[3].在这个过程中，一方面，学生能加深对所用知识的理解程度，形成利用有关知识解决问题的技能;更重要的一方面在于学生能感悟到隐含在问题解决过程之中的数学思想，获得分析问题和解决问题的基本方法，积累解决数学实际问题的经验

在《课标（2011版）》界定的“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”三个方面的内容中，都能找到方程思想的“载体”知识，学生在学习这些“载体”知识时，我们都要设置一些实际问题，让学生通过建立方程模型加以解决，从而加深对方程思想的认识与理解

（1）解决数与代数方面的问题

“数与代数”方面的很多内容是研究数量关系和变化规律的数学模型，在对这些数量关系和模型进行学习、交流以及建立模型解决问题的过程中，学生能感悟到有关的数学思想.建立方程模型解决问题就是十分常见的题型

案例2 足球中的问题图3

有一种足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，如图3所示，黑皮可以看做正五边形，白皮可以看做正六边形，白皮、黑皮的块数分别是多少？

设计意图 在学生建立一元一次方程概念的过程中，已经初步感悟到方程思想，在学生熟练掌握一元一次方程的解法后，我们设计了上面的案例.设白皮有x块，学生能借助于足球的直观特点并利用“黑皮的边数是固定的”建立方程模型3x=5（32-x）.

在解决这个问题的过程中，学生加深了对一元一次方程的认识，学会了建立一元一次方程解决实际问题的一般过程，还能发展学生的几何直观能力，进一步感悟方程思想，树立应用意识，不断提高数学核心素养

在学习各种具体方程时，都要设计一些利用方程解决的实际问题，让学生反复感悟方程思想

（2）解决图形与几何方面的问题

“图形与几何”部分的很多计算问题，需要用到方程的知识才能解决，如求角的度数、线段的长度等.在用方程解决这些问题的过程中，能加深学生对方程思想的感悟程度

案例3 建筑物的高度有几何（2019年重庆市中考数学题B卷）？

如图4，AB是垂直于水平面的建筑物，为测量AB的高度，小红从建筑物底端B出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC=BC.在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D在同一平面内）.斜坡CD的坡度（或坡比）i=1∶2.4，那么建筑物AB的高度约为（）（参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）

A.65.8米 B.71.8米 C.73.8米 D.119.8米图4 图5

析解 如图5，过点D作DG⊥BC的延长线于点G，延长EF交AB于点H，根据题意得CD=52.AB=AH+HB=AH+ED+DG.ED已知，需要求AH和DG，求AH需要先求出HE，HE=BC+CG=52+CG，需要先求CG，而CG=2.4DG，因此，只要在Rt△DCG中求出CG来，问题获解.设DG=x，建立方程（2.4x）2+x2=522，解得x=20，CG=2.4x=48

HE=BG=BC+CG=52+48=100，AH=HE·tan∠AEF=100·tan27°≈100×0.51=51.進而得到AB= AH+ED+DG≈51+0.8+20=71.8.故选B

点评 本题以求“建筑物”的高度为背景，属于解直角三角形的应用问题，是一种常见的题型.通过添加辅助线把AB化为三段，即AB=AH+ED+DG，转化为求AH和DG的长，进一步分析发现关键在于求CG的长，而求CG的关键在于建立方程（2.4x）2+x2=522.

学生通过解答这个题目，除了能提高自己的计算能力外，还能培养学生观察图形，添加辅助线的能力，并且还能进一步感悟到数形结合思想、转化思想和方程思想的“魅力”！

（3）解决统计与概率方面的问题

“统计与概率”方面的有些实际问题也可以通过建立方程（组）模型加以解决，这也是学生感悟方程思想的有效“素材”

案例4 检测成绩中的数学问题（2019年江苏镇江中考数学题）

陈老师对他所教的九（1）、九（2）两个班级的学生进行了一次检测，批阅后对最后一道试题的得分情况进行了归类统计（各类别的得分如下表），并绘制了如图6所示的每班各类别得分人数的条形统计图（不完整）

已知两个班一共有50%的学生得到两个正确答案，解答完全正确，九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分.请解决如下问题：

（1）九（2）班学生得分的中位数是;

（2）九（1）班学生中这道试题作答情况属于B类和C类的人数各是多少？

析解 （1）九（2）班一共有48人，而得6分的有27人，所以它的中位数是6;

（2）设九（1）班学生中这道试题作答情况属于B类的有x人，属于C类的有y人，

由图可知x+y=（22+27）÷50%-（8+6+12+49）=23

根据九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分，可得x+3y+6×22=3.78×50=57

故有x+y=23，x+3y=57， 解得x=6，y=17.

点评 本题以学生的一次检测成绩为背景，考查的知识点主要有条形统计图、中位数、平均数等概念以及二元一次方程组的应用.解题的关键是读出图6中相关联的数据并建立方程组.对于问题（1），根据图6得到九（2）班有48人是解决问题的关键.解决问题（2）的关键在于建立方程组

学生在解答本考题的过程中，能提高自己的阅读理解能力，获取信息的能力，计算能力以及建立方程组解决实际问题的能力等“显性”知识，除此之外，还能加深对方程思想和数形结合思想的理解和认识

（4）解决其他学科的问题

《课标（2011年版）》提出“数学与人类发展和社会进步息息相关，随着现代信息技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面”[3].为此，教学中可从其他学科（物理、化学、生物等）选择能用数学知识解决的问题，图7这样可加深学生对有关数学知识理解，有利于培养学生的应用意识

案例5 你能求出电源电压和电阻来吗？

为了求一个电源的电压和滑动电阻R0的值，小林设计了如图7所示的电路图，下面是小林在接通电源开关S的前提下，两次滑动Rp的滑片P所得到的数据：

请根据表格中的数据，求出电源的电压和电阻R0的大小

析解 设电源电压为U，则U=0.8R0+8.6;U=0.5R0+12.2. 解得U=18.2R0=12

点评 本题以滑动变阻器的滑片P为背景，让学生根据两次实验的数据求电源电压和电阻的大小，这是初中物理电学部分的常见问题，学生利用电学部分固有的关系是U=IR，根据实验获得的两组数据，正确建立起方程组是解决的关键

学生在解答本题的过程中，不仅能加深对电学知识的理解和认识，而且能提高运用方程组解决物理问题的能力，还能从数学学科外的“知识”中，感悟到方程思想，增强应用意识

在学习方程的知识时，适当精选一些其他学科的问题，让学生通过建立方程模型加以解决，这样有利于激发学生的学习兴趣，进一步“了解数学的价值”，多方面、多角度感悟方程思想.

3 结束语

数学思想是以具体知识为“载体”的，是数学知识的“灵魂”，学生只有在学习这些载体知识和应用知识解决数学问题以及实际问题的过程中，才能感悟到有关的数学思想，学生对数学思想的认识和感悟是一个过程，感悟的过程体现了《课标（2011年版）》提出的“逐级递进、螺旋上升”原则

我们在数学教学中，应认真研读教学内容，站在让学生感悟数学思想的高度设计问题系列，引导学生在探索、解决问题的过程之中，掌握数学基础知识，形成数学基本技能，感悟数学基本思想，积累数学基本活动经验，逐步实现《课标（2011年版）》提出的总目标.

参考文献

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[5]李树臣等.加强思想方法教学，提高学生整体素养[J].中学数学杂志，2017（10）.