函数有唯一零点问题

李富春

(云南省玉溪第一中学 653100)

函数有唯一零点问题是导数中的一类重要问题，这类问题涉及的知识点多，综合性强，解法灵活且多种多样，所以学生在解答这类问题时，常常会不知从何入手.为此，本文通过归纳、总结，给出函数有唯一零点问题的求解方法，抛砖引玉，希望对同学们有所启示和帮助.

一、函数有唯一零点，求函数中参数的值

1.利用函数图象的轴对称性

若函数y=f(x)在区间D上有唯一零点，且其图象关于直线x=m对称，则函数y=f(x)在区间D上的唯一零点为m.

例1 (2017年高考全国卷Ⅲ·文12理11)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点，则a=( ).

解析因为f(x+1)=(x+1)2-2(x+1)+a(ex+e-x)=x2-1+a(ex+e-x)，

评注此题直接求导、分离参数、分离函数都非常难求解，甚至几乎解答不出来.

2.利用分离参数法

函数f(x)=g(x)+a在区间D上有唯一零点等价于函数y=g(x)与函数y=-a的图象在区间D上有唯一交点.

从而a=g(4)⟹a=5ln2-4.

评注若函数y=f(x)在区间[a，b]上有唯一零点x0，且f(a)f(b)>0，则x0是其导函数y=f′(x)在区间[a，b]上的极值点.此题利用此导数性质也可快速获解.

3.利用导数性质

若函数y=f(x)在区间[a，b]上有唯一零点x0，且f(a)f(b)>0，则x0是其导函数y=f′(x)在区间[a，b]上的极值点.

例3 设函数f(x)=aex-2sinx，x∈[0，π]有且仅有一个零点，则实数a的值为( ).

评注此题利用分离参数法也可快速获解.

二、函数有唯一零点，求函数中参数的取值范围

1.利用数形结合法

通过求导，零点存在性定理与数形结合法相结合，判断出函数图象的走向.

例4 (2014年高考全国卷Ⅰ·文12理11)已知函数f(x)=ax3-3x2+1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是

A.(2，+∞) B.(-∞，-2)

C.(1，+∞) D.(-∞，-1)

2.利用分离参数法

函数f(x)=g(x)+a在区间D上有唯一零点等价于函数y=g(x)与函数y=-a的图象在区间D上有唯一交点.

例5已知函数f(x)=aln2x-e2x/e有且只有一个零点，则实数a的取值范围是____.

3.利用分离函数法

函数f(x)=g(x)-h(x)在区间D上有唯一零点等价于函数y=g(x)与y=h(x)的图象在区间D上有唯一交点.

A.[-1，0]∪[1，+∞) B.(-∞，-1]∪[0，1]

C.[-1，1] D.(-∞，-1)∪[1，+∞)

三、函数有唯一零点，求零点

1.利用函数图象的中心对称性性质

若函数y=f(x)在区间D上有唯一零点，且其图象关于点(a，0)对称，又函数y=f(x)在区间D上单调，则函数y=f(x)在区间D上的唯一零点为a.

因为函数f(x-1)为奇函数，所以函数f(x-1)的图象关于点(0，0)对称，从而函数f(x)的图象关于点(-1，0)对称.

从而函数f(x)仅有唯一零点-1，即函数f(x)的零点为-1.

2.利用解方程法

函数y=f(x)的零点等价于方程f(x)=0的实数根.

3.利用凑法

有时，利用上述方法都不能解决求函数的零点问题，就观察函数解析式的结构特征或方程的结构特征，然后凑值.

例9函数f(x)=2xln2x-2x+1的零点为____.

解析函数f(x)=2xln2x-2x+1的零点等价于方程f(x)=0，即2xln2x-2x+1=0的实数根.

由2xln2x-2x+1=0，得e1-2-x=2x，由此凑出x=0.

故函数f(x)=2xln2x-2x+1的零点为1.

四、证明函数在区间D上有唯一零点

1.利用分离参数法

函数f(x)=g(x)+a在区间D上有唯一零点等价于函数y=g(x)与函数y=-a的图象在区间D上有唯一交点.

(1)若a=3，求f(x)的单调区间；

(2)证明：f(x)只有一个零点.

解析(1)略.

综上所述，f(x)只有一个零点.

2.利用零点存在性性质

若函数y=f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)f(b)<0，则函数y=f(x)在区间[a，b]上有唯一零点.

(1)求f(x)的单调区间和极值；