一道最值问题的解题研究

刘显海 汪应佳

(江西省赣州市南康区第三中学 341400)

一、问题来源

题目已知m,n∈R,m+2n=2，则m·2m+n·22n+1的最小值为____.

二、问题解决

1.第一次改造

首先将要求最小值的式子写成整齐的对称形式：m·2m+n·22n+1=m·2m+2n·22n=x·2x+y·2y，其中x=m,y=2n，满足x+y=2.

这样，我们就把原来的题目改写成了一个等价的“新”题目：

变题1已知x,y∈R,x+y=2，则x·2x+y·2y的最小值为____.

下面给出基于“变题1”的两种完全不同的解法.

解法1(运用对偶配对方法及排序不等式思想)

记A=x·2x+y·2y,B=x·2y+y·2x，则有：

A-B=x·2x+y·2y-x·2y-y·2x=(x-y)(2x-2y)≥0.②

解法2(消元化为一次函数求导法)

由x+y=2得y=2-x，则求最小值的式子即y=x·2x+(2-x)·22-x.观察其结构易知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，故下文的讨论以x=1为临界点来展开讨论.

对函数求导，得：

f′(x)=[2x+x·2xln2]+[-22-x+(2-x)22-xln2·(-1)]

=(2x-22-x)+[x·2x-(2-x)·22-x]ln2.

(1)当x>1时，易知2x-22-x>0,x·2x-(2-x)22-x>0，所以f′(x)>0；

(2)当x<1时，易知2x-22-x<0,x·2x-(2-x)22-x<0，所以f′(x)<0；

(3)当x=1时，易知f′(x)=0.

注：(1)以上两种解法充分利用了将问题改造后形成的对称性，分别借助于对偶配对及消元求导方法，顺利求出了最小值；

(2)以上两种解法从某种意义上来说都不“简单”，但无论如何，这两种解法都还在高中生能够接受的范围内.

2.第二次改造

以下的三种解法是基于“从实数到非负实数”的思想进行改造.从题目出发我们进一步得出更多的有用信息，即：在条件x+y=2下，x·2x+y·2y的最小值必在x≥0且y≥0时取得.事实上，若不然，不妨设x<0，则y>2，因此：

x·2x+y·2y>x+(2-x)×4=8-3x>8.

而取x=0,y=2可得x·2x+y·2y=8，故可知最小值不可能在x<0时取得.由此，题目可以在“变题1”的基础上进一步改造为：

变题2已知x+y=2，x≥0且y≥0，则x·2x+y·2y的最小值为____.

接下来的解法就直接考虑这一问题了.

解法3(凸函数及Jensen不等式法) 记f(x)=2x，易知其为凸函数，因此对于任意非负实数λ1,λ2，若λ1+λ2=1，则有：

λ1f(x1)+λ2f(x2)≥f(λ1x1+λ2x2).

应用上述不等式，可得：

由③和④，得：

解法4(另一个凸函数方法)记f(x)=x·2x，则f′(x)=2x+x·2xln2，f″(x)=2xln2+(2x+x·2xln2)ln2>0，故可知函数f(x)=x·2x为凸函数，所以

解法5(Lagrange乘数法)记f(x,y,λ)=x·2x+y·2y+λ(x+y-2)，则

fx=2x(xln2+1)+λ=0， ⑤

fy=2y(yln2+1)+λ=0， ⑥

fλ=x+y-2=0.⑦

因为2x(xln2+1)是递增的，而由⑤和⑥两式可得2x(xln2+1)=2y(yln2+1)，所以x=y.再结合⑦可得x=y=1，此即取得最小值的条件，代入计算易得最小值为4.

(2)严格来说，以上这三种解法都称不上“初等”，因为分别借助了高等数学里的凸函数理论和多元函数求最值的Lagrange乘数法.但是，凸函数概念和Jensen不等式实际上早已是中学数学里的“常客”，例如高中数学教材《必修1》的复习题中曾两次提到有关凸函数的不等式，而在各类考试中，更是不乏有关凸函数的不等式的身影.

三、题外话：能猜出答案吗？

以上的两次改造、五种解法都是以“解答题”的严格要求来解决这样一个“填空题”，从数学所追求的的严谨性、逻辑性而言当然无可厚非.但是，作为一个考试中的一个“填空题”而言，上面的五种解法中的任何一种其实都是不太合适的.解法1、3确实简易，却太过巧妙，技巧过高；解法2、4、5计算量太大，求导、整理化简难度不小.就题论题，从应试的角度看，我们难道真的需要花大把时间来解这样一个“小题”吗？其实，这个题目在改造为“变题1”后，就应该完全可以“猜出”而且“猜对”答案，注意条件“x,y∈R,x+y=2”和要求最小值的式子“x·2x+y·2y”都是关于两个变量“x,y”完全对称的，因此最小值必定在其相等时取得，因为对称意味着两者的地位完全相等.答案得以轻松“猜出”！