优化多元表征助推算理内化

饶正凯

【摘要】“分数乘分数”是苏教版六年级上册的内容，学生在掌握算法上一般不会有太大问题，但是在理解算理的过程中往往会出现偏差。在实际教学过程中，要让学生通过多元化的表达方式，化静态图像为动态过程，让学生在演绎推理中逐步领会算理，掌握算法。培养学生分析问题、解决问题的能力，完成对分数乘分数的自主建构。

【关键词】激发内驱 多元表征 演绎推理 主动建构

《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。要使数学教学过程更加体现数学的本质，有利于促进学生的全面发展。前不久，笔者在校内教研课中先后两次试教了苏教版数学六年级上册教材中“分数乘分数”一课。最终改变了设计的初衷，经历了一次从注重教师的教到注重学生的学，从注重外在形式模仿到注重内在本质理解的过程。

【教学思考】

一、在激发内驱中感受算理

在第一次试教中，通过对分数乘整数的直接迁移，使学生明确要求的是多少，就是求一个数的几分之几是多少，因此用乘法解决。同时直截了当地出示等分后的长方形，展示出的，并在此基础上要求学生根据这一模型画出表示的的意义，虽然在课堂上教师教得行云流水，学生学得严丝合缝，但数学味不够浓，学生学习缺乏兴趣和主动探索的过程，一切都按照教师布置的“轨道”在行走。因此在第二次试教中笔者将例题改为“比较一块饼的的和一块饼的谁更大一些”。激发了学生比较的兴趣、学习的激情和探索的热度。与之前不同的是，学生在比较的过程中主动构建一个圆来代替“单位1”——一块饼。数形结合的思想在无形中得到了建构，通过这样的理解，学生对理解求的的意义更加深刻，远比死记硬背地求一个数的几分之几更加生动形象。经过这样的自主学习的过程，学生理解两个分数相乘的算理更加充分，而且能够初步感受到两个分数计算的思考方法，从而为进一步的归纳算法打下坚实的基础。

二、在多元表征中明确算法

布鲁纳关于儿童心智成长的研究告诉我们这样一个事实：儿童掌握一个数学内涵的过程是先从动作表征过渡到图象表征，最后到抽象思考。在实际教学中，借助动作表征、图象表征和语言表征的积累与质变，可以帮助学生有效理解概念解决问题。第二次试教在引导学生基于熟悉的圆形表示出的之后，侧重引导学生通过多元化的方法表示出的。教师首先提示：“你能用自己的方法表示出这道算式的意思吗？”这就为学生接下来自主构造图形表示两个分数相乘提供了基本的思考方向。在展示了几种不同的表达方法之后，要求学生先说说几种思考过程的相同之处，再启发他们通过进一步的比较，说说“哪种画法更能表现出先分后取、再分再取的过程”，同时通过学生的作品，直观地看出来结果中分母和分子分别表示的是先分成多少份，从中取出了多少份的过程，在凸显了两个分数相乘的本質意义的同时，又体现了逐步完善算法的明确意图。深度学习倾向于在比较中更好地进行学习，学生通过多元化的比较所获得的认识和体验自然更加清晰，同时获取的算法也更有深度。

三、在演绎推理中归纳总结

上述教学中教师紧紧抓住引导学生数形结合的过程，通过演绎推理，紧密地将算法与算理两者联系在一起，在算法与算理之间架起了一座桥梁，真正做到了算法和算理的融会贯通。借助各种形状不同的“单位1”在演绎推理的过程中让学生明白一共15份是指把整个图形（可以是长方形、正方形或者圆等“单位1”）平均分成了3行5列，3×5就是15份，最终取了2×2=4份。由内在的算理演绎出了外在的算法，使学生清晰了两个分数的分母相乘其实就是把“单位1”平均分成若干份，而两个分数的分子相乘其实就是从中取了多少份。从而自然得出“分数乘分数，分母相乘的积作分母，分子相乘的积作分子”的计算方法，进一步确认相关猜想的合理性，整个教学过程既体现了直观手段的作用，又充满了演绎推理后缜密思考的魅力。学生通过观察、比较、验证、推理、总结，最终经历了演绎推理的过程，在真正理解算理的基础上验证算法，在算法明晰的过程中进一步巩固算理，从而形成属于自己的理解。同时再次利用图形来沟通算理和算法的联系，在数形互释中进一步理解算理和掌握算法，使学生对计算方法做到知其然，更知其所以然。