例谈伸缩变换在椭圆问题中的应用

符强如

(新疆乌鲁木齐市实验学校，830026)

解析几何中与椭圆相关的问题经常出现.此类问题的常规求解过程复杂繁琐,利用高中数学选修课程中的伸缩变换可以优化计算,降低解题难度.

本文以高考题为例,展示伸缩变换的具体应用.

(1)求曲线C的方程;

(2)过坐标原点的直线交C于P、Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连结QE并延长交C于点G.

(i)证明:∆PQG是直角三角形;

(ii)求∆PQG面积的最大值.

回代到椭圆中,得kPGkPQ=-1,即PG⊥PQ,∆PQG是直角三角形.

评注此题原解答比较繁琐.利用伸缩变换及∆P′Q′G′为直角三角形,并结合夹角定理,将S∆P′Q′G′表示为单变量θ的三角解析式,使运算更简洁,简化了问题求解.

评注此题应用伸缩变换将问题变成初中平面几何问题(即相似三角形问题),并且∆OA′B′是等腰三角形,使结论显而易见,解题运算量大大减少.

(1)求椭圆C的方程及离心率;

(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值.

由|B′M′|=|B′O|+|M′O|,得|B′M′|=2+2tan∠P′AO;同理得|AN′|=2+2tan∠P′B′O.故

=2(1+tanα)(1+tanβ).

评注将椭圆变成圆后,充分利用圆中同弧所对圆周角是圆心角的一半是解答该题的关键,顺利将解几中的面积问题转化为三角问题,优化了计算途径与过程.

(1)求C1、C2的方程;

(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与C2交于P、Q两点时,求四边形APBQ面积的最小值.

(过程略)

评注本题利用伸缩变换将椭圆变成圆、双曲线变成等轴双曲线,使圆的直径恰好等于双曲线的实轴长,圆的直径是线段P′Q′的一部分.再结合圆的垂径定理,得出SP′A′Q′B′仅与cos∠M′OF1有关,使面积的最小值轻松求出.