把握问题教学模式 构建数学高效课堂*——以三角辅助角公式的应用为例

孙西洋

(江苏省南京市第二十九中学，210036)

数学作为一门基础性学科,教学的最终目标是通过引导学生发现问题、解决问题,完成数学教学的目标和任务,促进学生的全面发展．为了顺应数学新课程理念的要求,教师要大胆变革当下的课堂教学模式,努力营造宽松、和谐、民主的学习氛围,积极创设问题情境,引导学生参与问题教学与互动,变学生的被动接受为主动学习,充分挖掘学生的学习潜能,引导学生不断发展和进步．

所谓问题教学法,就是教师通过创设问题情境,善导问题,引导学生积极主动地在自主、合作、探究的学习过程中努力地发现问题,提出问题,探寻解决问题的途径和方法,由此获得基础知识和基本技能的一种教学方法．

问题教学改变了数学传统教学模式和教学方法,能充分尊重学生的主体地位,能够激发学生的学习积极性和主动性,提高数学堂教学的效果．

本文从三角辅助角公式的探究过程以及公式的应用出发,谈谈如何实施数学问题教学．

一、辅助角公式的探究

师:哪位同学能将三角函数式y=asinx+bcosx表示为某一个角的三角函数?

师:生1把表达式asinx+bcosx看成两个向量(b,a)与(cosx,sinx)的数量积,解决了老师提出的问题,非常好!

师:说得非常好！同学们还有其它处理方法吗?

生3:可以用两个角的和与差的三角函数将其化为一个角的三角函数:

师:生3是利用两个角差的余弦公式的逆用,三角函数式asinx+bcosx化为一个角的三角函数,很好！还有哪位同学想再补充?

生4:用两角和的正弦公式的逆用,也可将这个三角函数式化为一个角的三角函数式:

于是y=asinx+bcosx

师:生4的处理方法正确,也是我们常用的方法之一．请同学们思考一下把三角函数式asinx+bcosx化为一个角的三角函数的步骤有哪些?

师:生5讲得非常棒！他给我们介绍了如何将一个形如asinx+bcosx三角函数式化为一个角的三角函数的方法与步骤．为了便于应用,以后我们就把它叫做辅助角公式．下面我们来研究辅助角公式的应用．

二、辅助角公式的应用

例1 已知函数f(x)=5sinx-12cosx+3,求函数的最大值与最小值,并求函数取得最大值与最小值时对应的tanx的值．

师:谁愿意与大家分享一下这个问题的解法?

生6 可以利用辅助角公式把函数解析式化为

f(x)=13sin(x-t)+3,

师:生6运用辅助角公式将三角函数式化为一个角的三角函数,利用三角函数的有界性,得到问题的解．生6对辅助角公式的理解深刻．下面请同学们思考一下如何求解下列问题:

师:请同学们思考一下,看看哪位同学能用辅助角公式来求这个函数的值域吗?

(说明:这个问题与辅助角的关系不太明显,为了有效引导学生运用辅助角公式,教师可以有意识地作出如下引导．)

2sinx=3y+ycosx，

即 2sinx-ycosx=3y.

请同学们根据这个例题考虑一下什么样三角函数问题去分母,再利用辅助角公式求解?

师:这类问题可以通过去分母,通过辅助角公式来求函数的值域,总结得很好．下面我们来看下面例题,看看如何求解?

例3 已知方程2cosx+6sinx+1=0的两个根分别是α,β,且α,β∈(0,2π),α≠β,求sin(α+β)的值．

生9:用辅助角公式，可以得到

即α+β=3π-2θ,

所以sin(α+β)=sin(3π-2θ)