非对称异型沉箱浮游稳定计算

杨彦豪，姜淞云，张志斌

(1.中国港湾工程有限公司，北京 100027；2.中交四航工程研究院有限公司，广东 广州 510230)

在港口码头工程中，由于混凝土沉箱具有耐久性高、整体性好、造价较低和运输安装方便等特点，应用越来越广泛。对于常规对称式沉箱的浮游稳定计算，规范[1]中已给出明确的计算方法。多数工程中所用的沉箱均为规则对称式矩形结构[2-3]，部分工程中出现了圆形[4]或椭圆形[5]沉箱，但均为对称结构。因此都可以采用规范方法直接进行计算。

然而，对于非对称异型沉箱的浮游稳定计算，由于其结构形式不满足规范中所要求的前提条件，因此该方法已不再适用。必须根据异型沉箱的结构特点，重新推导并给出浮游稳定计算方法，以确保其施工过程中的稳定和安全。

1 概况

阿比让港口扩建项目是科特迪瓦近年来最大的项目，也是中国港湾在该国乃至西部非洲地区非常重要的项目，具有重大的政治、经济和社会影响力。本项目中新建码头为重力式沉箱结构，码头岸线如图1所示，其中一个拐角的角度为124°，为保证岸线平顺衔接，设计布置两个互为镜像的异型非对称沉箱，沉箱位置见图1。

图1 码头岸线及异型沉箱

沉箱预制安装前需要进行浮游稳定计算，以确保安装过程中沉箱的稳定与安全，避免发生倾覆。鉴于两个异型沉箱的非对称性，无法利用现有规范方法进行计算，因此需要从浮游稳定的理论出发，推导任意物体的浮游稳定计算公式。

2 计算公式推导

2.1 欧拉倾斜轴定理

图2为任意悬浮于水中的物体，其静止时的初始浸水面为W0L0。当该物体受到扰动发生摆动时，产生一个小倾角θ，此时其浸水面为WθLθ。如果倾角θ足够小，平面W0L0和WθLθ的交线为直线，称该直线为倾斜轴。由于物体仅做小角度摆动，浸没的体积不变，则倾斜轴两边的体积应相等[6]。

图2 任意悬浮于水中的物体

如图2所示，以倾斜轴为X轴，以竖直方向为Z轴，以物体内部X轴上任意一点O为坐标原点建立坐标系，作出平面W0L0和WθLθ在YOZ平面的投影图3a)，作出W0L0在XOY平面上的投影图3b)。

图3a)中右侧出水的微体积为V1、面积为S1，左侧浸入水面的微体积为V2、面积为S2，则有：

V1=∬s1ytanθds

(1)

V2=-∬s2ytanθds

(2)

由于倾斜角θ很小，认为V1和V2相等。

∬s1ytanθds=-∬s2ytanθds

(3)

又因为：

S=S1+S2

(4)

所以有：

∬syds=0

(5)

即倾斜轴通过浸水面的形心。

图3 浸水面在YOZ和XOY平面上的投影

2.2 定倾半径

文献[6]给出体积移动定理，即：

(6)

式中：xG为原始坐标；x′G为移动后坐标；xd为对应物体中移动部分在x方向移动的距离；V′为物体中移动部分的体积；V为物体总体积。

根据体积移动定理不难发现，悬浮物体的摆动导致其中一部分浸入、另一部分浮出水面，这引起了物体的浮心变化。由2.1节可知，微体积的底为dxdy，高为ytanθ。则变化的微体积为V′=ytanθdxdy。

按前述方法建立的坐标系，浮心点初始坐标为B0(0,0,0)，则可以得到Bθ(xB,yB,zB)：

(7)

(8)

(9)

式中：V为物体体积；S为浸水面面积；Ixy为浸水面W0L0关于X、Y轴的惯性积；Ixx为浸水面W0L0关于X轴的惯性矩。

可以看出，zB为θ的高阶无穷小，所以zB相对于xB和yB可以忽略不计。

对于xB而言，如果Ixy不为0，则xB也不为0。此时，变化后的浮心Bθ将不与W0L0共面，沉箱小角度摆动就变成了三维运动；但是如果Ixy为0，那么xB也等于0，此时，沉箱仅做二维摆动。

由倾斜轴定理可知，倾斜轴(X轴)通过浸水面的形心。如果要确定Ixy还必须知道Y轴的位置。

对于对称结构，如果能够平稳悬浮在水中，其浮心在浸水面上的竖向投影必定与浸水面的形心重合。此时，Y轴通过形心，Ixy=0。

对于非对称结构，又可以分为两种情况：

1)非对称结构做三维运动。浮心在浸水面W0L0上的投影不与浸水面的形心重合，可知倾斜轴过浸水面的形心，此时物体只能绕通过W0L0的形心与浮心在W0L0上投影点这两点所在的直线运动。但是一经扰动，由于此时Ixy并不为0，浮心沿X和Y轴两个方向均有位移。因此微扰动为复杂的三维运动。

2)非对称结构做二维摆动。如果物体稳定时，浮心在浸水面W0L0上的投影与浸水面的形心重合，则以浸水面的形心为坐标原点、以倾斜轴为X轴、竖向为Z轴建立坐标系。此时，需要寻找倾斜轴相对于物体的位置，在此位置物体发生摆动时受到的阻力最小。由对称结构的浮游稳定计算可知，因为沿某个对称轴的惯性矩最小，物体最易发生倾覆，因此只须计算沿该对称轴的摆动即可，此时X轴和Y轴与对称结构的两条对称轴重合。与其类似，在该问题中寻找通过浸水面W0L0的形心并且惯性矩最小的轴。由平面图形几何性质可知，过W0L0形心的主惯性轴即为所寻找的倾斜轴，与其垂直并且通过形心的坐标轴为所寻找的Y轴。此时，浸水面W0L0对主惯性轴的惯性积Ixy为0。绕此轴做小角度运动时，xB为0、zB为高阶无穷小，仅yB不为0，物体做稳定的二维摆动。

对于沿竖直方向尺寸基本不发生变化的异型结构，如本项目中的异型沉箱，当其竖直平稳悬浮于水中时，任意横断面形状和面积均不发生变化，由浮心的求解公式可知：

习近平生态文明建设重要论述的科学内涵主要包括以下六个方面：人与自然、社会、自身三维和谐的生态价值观，绿水青山就是金山银山的绿色发展观，良好的生态环境就是最普惠的民生福祉的生态民生观，以最严格的制度保护生态环境的生态法治观，以生态红线为生态环境保护生命线的生态安全观和保护人类共同家园的生态全球观，这些思想观点相互联系、互为补充，共同形成了一个有机、统一的新时代中国特色社会主义生态文明建设体系。

(10)

(11)

(12)

式中：Vi为浸入水中的体积；S为浸水面的面积；h为浸入水中的物体高度。

从式(10)和式(11)可知，X和Y坐标即为浸水面的形心。从而得出：浮心在浸水面W0L0的投影必与浸水面形心重合，这满足了第2种情况中二维摆动的条件。此时，在浸水面W0L0中寻找过形心的主惯性轴，并分别定义为X轴和Y轴，那么在该坐标系中同样可以得出式(7)～(9)。由于主惯性轴中有Ixy=0。因此，式(7)～(9)中xB为0、zB为高阶无穷小，仅yB不为0。

(13)

(14)

通过以上假设及推导，将非对称结构的定倾半径计算公式化归为与对称结构一致。但是值得注意的是，本式成立的前提是浮心在浸水面上的投影与浸水面的形心重合。并且考虑到物体在水中稳定时，质心与浮心必在同一竖直线上。因此对于非对称异型沉箱，公式(14)成立的前提条件为：沉箱竖直平稳悬浮于水中时，任意横断面的形状和面积均不发生变化。并且通过压载等方式，使异型沉箱稳定悬浮于水中时，其质心、浮心和浸水面的形心在同一条竖直线上。这对于本式至关重要。

因此，对于非对称异型沉箱，其定倾高度m的定义与规范的表达式一致：

m=ρ-a

(15)

(16)

综合前面可知，计算异型沉箱浮游稳定的步骤如下：1)求出沉箱稳定时浸水面的形心(x，y)，则浮心的X、Y坐标与之相同；2)假定满足浮游稳定条件的加水重力Q，此时质心的X、Y坐标与形心和浮心的相同，据此计算出不同仓格加水量；3)根据不同仓格加水量，计算出质心的Z坐标、吃水深度以及浮心坐标；4)计算出质心与浮心距离a；5)根据式(16)计算出最小的定倾半径，计算定倾高度并判定浮游稳定情况。其中步骤5)须计算最小的定倾半径，以确保沉箱在任意方向均可保持稳定。

3 非对称直角梯形异型沉箱的稳定计算

本文所研究的异型沉箱如图5、6所示，沉箱高19.5 m、底板高0.75 m、标准层高18.75 m。标准层的横断面为直角梯形，并且断面尺寸沿竖向不发生变化。其他尺寸见图5。

图5 直角梯形异型沉箱平面(单位：mm)

图6 直角梯形异型沉箱三维图

虽然在底部的前趾和左右侧壁出现了截面变化，但是底部以上在竖直方向上截面形式不变。如果沉箱保持水平，则浮心在浸水面上的投影与浸水面的形心基本重合。为了方便计算，认为本文研究的直角梯形异型沉箱满足2.2节第2类情况。此时，需要寻找X轴(倾斜轴)的位置，使其位于形心主惯性轴处，从而使得惯性积Ixy为0，并且Ixx最小，从而确保沉箱在该位置的最小定倾高度满足要求。

3.1 倾斜轴位置确定

如图7所示，以通过浸水面形心为坐标原点，垂直于直角梯形的直角边为X轴，平行于直角边为Y轴，建立坐标系XOY。不难求出该坐标系下的惯性矩Ixx、Iyy和惯性积Ixy。由平面图形几何性质及转轴公式可以求出过形心O的主惯性轴及主惯性矩Ix和Iy。

图7 浸水面

假设主惯性轴与X轴夹角为θ，则有：

(17)

(18)

(19)

从上式可以求出两轴相差90°的角度，分别对应最大和最小的主惯性轴Ix和Iy，图7中X、Y轴即为主惯性轴。其中最大形心主惯性矩为Ix=3 645.426 8 m4；最小形心主惯性矩为Iy=1 412.515 4 m4。

不难发现，当异型沉箱绕Y轴摆动时更容易发生倾覆，因此采用式(16)进行验算沉箱稳定时只须计算绕Y轴摆动的情形。

3.2 稳定验算

建立图 8所示坐标系，其中坐标原点位于沉箱底部，Z轴向上为正。异型沉箱的格仓编码如图8所示，假定总压载量为400 t，各格仓的压载水高度以及某格仓内压载水面对于该水面倾斜轴的惯性矩见表1，总排水量为2 372 m3。

图8 计算及格仓编号

表1 各格仓压载水高度及对倾斜轴的惯性矩

通过计算求得压载后的质心(m)为(7.85,5.61,7.369)，浮心(m)为(7.86,5.61,7.26)，浸水面的形心(m)为(7.88,5.60,7.80)。可以看出质心、浮心在浸水面的投影和浸水面的形心基本重合(X和Y坐标基本一致)，因此满足前述2.2节公式(16)应用的前提条件。质心到形心的距离a=0.11 m。求解各格仓的惯性矩时，应求解该格仓压载水面对于自身倾斜轴的惯性矩。

通过求解得出定倾半径为0.578 m，此时定倾高度为0.468 m。根据规范本项目沉箱的定倾高度不小于0.2 m时即为稳定，因此前述压载方案可以满足浮游稳定。

本项目中两个异型沉箱按照前述压载方案进行施工，结果表明沉箱在这种压载条件下，可以很好地保持浮游稳定，理论计算和现场实施结果基本一致，两个沉箱均顺利完成了安装。

4 结论

1)异型沉箱浮游稳定计算无法直接按照规范，通过计算纵向中心轴的惯性矩从而求出定倾半径。通过对任意形状悬浮体的浮游稳定计算公式推导，并结合异型沉箱的结构特点，将规范中矩形和无隔墙圆形沉箱的定倾半径计算公式推广至异型沉箱。

2)本文给出的计算方法主要针对竖直方向上截面形式不变的异型沉箱，通过压载等方式，使沉箱竖直平稳悬浮于水中时，任意横断面形状和面积均不发生变化。其质心、浮心和浸水面的形心在同一条竖直线上。受到轻微扰动时，将沿着过浸水面形心的主惯性轴做二维摆动，而非复杂的三维运动。

3)由于异型沉箱的浸水面并非对称图形，无法直接找到其形心主惯性轴，因此通过平面图形几何性质求解主惯性轴，然后再进行定倾半径的求解。

4)通过本项目两个异型沉箱的计算以及现场实施，证明了这种计算方法安全可靠，可以为异型沉箱的浮游稳定计算提供参考。