数形结合思想在数学教学中的有效融入

张国福

摘 要：数和形是数学研究的最基本的对象。数是对数量的体现，形式对空间形式的表现，数与形两者之间相互独立存在，又相互有着密切的联系。数是形的抽象的概括，形又是数的具体数量的表现形式，有一些数量的问题可以利用图形来解答，同时数学中的图形问题也可以转化为数量的形式。

关键词：数学课堂 数形结合 对策

所谓数形结合，就是借助更加直观的图像将数量之间存在的关联进行有效的表达，更好地帮助学习者理清思路，进而解决他们在学习和生活中遇到的问题。在学生数学教学中运用数形结合的教学方法，就是通过数量和图形之间的对应关系，更加直观地向学生反映出数学之间的逻辑关系，使抽象的数学知识与直观的图形结合起来，从而使得复杂抽象的数学问题变得简单化。因此，教师在实际教学中应该灵活地运用数形结合方法，从而提高学生的学习效率、数学能力和数学思维，进一步提高课堂教学效率。

一、链接教材内容，建立树形思想

学生数学教材中的反三角函数、指数函数等，都是有着数形结合意义的知识点，教师要充分利用这些内容，提高学生对数形结合思想的认识，让学生掌握数形结合的方法，提升解答数学难题的能力。

例如，在“平面解析几何初步”教学中，教师要让学生利用“形助数”的方法解决问题，以此提高学生对几何图形的直观理解能力，并牢固掌握相关知识。在“两个变量的线性相关”教学中，教师要让学生利用“画坐标”的方法，将数与数的空间结合起来，让问题变得简单而直观。教师在讲解三角函数相关知识点时，教师在展示图形的时候，为学生讲解三角函数的公式、概念与性质，重点是让学生知道公式的推导过程、图形的表现方法。图形可以在学生脑海中产生深刻印象，便于学生牢固记忆知识。此外，数形结合方法还可以应用到异面直线成直角、平面与平面之间成角等问题中，可以帮助学生更加轻松地解答数学难题，并形成系统化的数学知识框架。

二、结合实际问题，提升解题能力

（一）在方程式中的運用

学生直接进行方程式问题的解答，存在一定难度，这是学生数学学习的难点之一。为帮助学生掌握该类型问题的解题技巧，实现对数学问题的直观化、简单化处理，教师可通过对数形结合思想的运用，完成相应的教学任务。

例如，在圆（x-2）2+y2=3中取任意一点N（x，y），求x-y的最小值及最大值。如果学生直接进行方程式解答，存在一定难度，此时笔者引导学生利用题目中的信息，设x-y=b，进而得到相应方程式，引导学生展开函数图像构建，以便学生利用图形快速求出最大值及最小值。在求方程实根个数的过程中，教师也可引导学生运用构建二次函数图形的方式，通过对图像内交点的分析与判断，确定实数根具体数量。

（二）在立体几何中的运用

立体几何题都有着较为突出的空间性特征，在进行几何问题处理时，应利用题目中已有信息，对图形展开简化处理。教师可以引导学生通过在图形中增加辅助线的方式，在图中找到潜藏的数学信息，以便学生运用所学理论与定义，对几何图形展开计算。

例如，在对平行、垂直关系几何题目进行解答时，学生可通过将图形转换为代数的方式进行计算，以利用代数手段，完成几何问题推理。同时学生还可以运用向量法，通过对几何数据实施线段转化的方式，利用向量关系对几何问题进行解决。需要注意的是，在运用数形几何手段对几何问题进行解答时，要保证几何与代数的衔接质量，且要做好几何定理分析，以保证最终题目的解答质量。

（三）在数列中的运用

教师将数形结合思想科学应用到数列之中，可加深学生对于数列问题的认知程度，能够更好地帮助学生抓住问题本质，所取得的教学效果也较为理想。

例如，在等差数列{bn}中，a<0，若∣b3∣=∣b9∣，求{bn}前几项的最大和。这道题的难度相对较高，学生在解题时，很容易出现没有头绪的情况。教师可引导学生，通过抓住关键的方式，对习题进行简化，进而通过画出相应的二次函数图像，最后利用自变量取正数集手段，完成本次解题任务。

（四）在不等式中的运用

不等式也是数学学习的重要板块，可以考查学生的数学学习能力与数形思想方法的应用，所以，学生在不等式的学习与复习过程中要注意数形结合思想方法的渗透。

例如，若-3<<2，则x的取值范围是（ ）。

这道题目如果按照常规的解题方法非常的复杂，而且会占用很长的解题时间，如果利用数形结合的方法解题就会比较简单、省时。我们可以利用y=的图像解题，如图所示，我们可以得出x<-13或x>12。

这道题目如果按照常规的解题方法非常的复杂，而且会占用很长的解题时间，如果利用数形结合的方法解题就会比较简单、省时。我们可以利用y= 的图像解题，如图所示，我们可以得出x<-13或x>12。

三、加强跟踪练习，巩固学生能力

数形结合思想的培养是一个循序渐进的过程，在为学生传递技巧的同时，教师也要给学生提供合理的练习平台。只有通过不断地锻炼，学生才能扎实地掌握数形结合思想。首先，教师可以定期为学生出示一些几何、代数转化类的练习题，并鼓励学生在分析题干条件期间尝试运用转化思维，从代数的角度出发分析几何问题，再从几何的角度出发分析代数问题。在得出答案的时候，可以要求学生将具体的解题思路记录下来，由此帮助学生养成良好的学习习惯;其次，在设计家庭作业期间，教师可以为学生出示三道练习题，而且难度逐渐提升。在学生解答习题时，他们需要利用几何思维和思维两种方式探寻解答步骤，随后指出哪一种方法最合理。

虽然数形结合思想在解答数学题方面具有良好的优势，但并不是所有的练习题都需要采用这种方法。为了让学生更深入地了解数形结合思想，教师可以鼓励学生在使用数形结合思想的同时总结一下个人心得，比如：数形结合思想更适合哪一类型的数学习题，以及在特定类型题上应该如何灵活运用数形结合思想，从而丰富学生的学习体验。

总之，通过对数形结合方法的合理有效运用，充分抓住“数”和“形”的特点，相信会很大程度上简化解题过程，培养学生独立自主的学习能力和逻辑思维能力，帮助学生更快的抓住问题的要害，促进师生间共同进步。

参考文献

[1]杨渭革.应用数形结合思想指导数学解题[J].中学教学参考，2019（8）.

[2]马柯.数形结合思想在数学教学中的渗透研究[J].成才之路，2017（5）.