HPM视角下的点到直线的距离课例研究

蔡东山 彭思维 雷沛瑶

【摘要】探究式教学有助于学生成为课堂的主人，激发学生的学习兴趣。数学史上点到直线的距离公式的推导方法各具特色，蕴含丰富多彩的数学思想，是探究性学习的较好素材。文章基于数学史，对点到直线的距离公式进行探究性教学，达成多元的教育价值，以期为HPM视角下的高中数学教学提供参考。

【关键词】点到直线的距离;探究式教学;数学史

一、引言

点到直线的距离公式是高中解析几何课程中重要的公式之一，它是解决点线距离、线线距离的基础，也是研究直线与圆的位置关系的重要工具，同时也为后面学习圆锥曲线做准备。沪教版教材利用向量探究点到直线的距离公式。据统计发现，已有的教学设计，大部分基于人教版教材提供的方法，结合初中已学的几何方法，由直线外一点作直线的垂线，计算垂足点的坐标，然后利用两点间的距离公式，推导出点到直线的距离公式：有的教学设计，借鉴沪教版提供的思想，利用向量的知识，推导出点到直线的距离公式;还有少部分教学设计采用面积法、三角法和函数最值法推导点到直线的距离公式[3]。

已有研究表明，数学史具有多元的教育价值，数学史可以帮助学生理解数学，通过古今数学方法的对比，拓宽学生思维。同时，数学史有助于培养学生的数学核心素养，将数学史融入教学中，给学生提供了探究的机会，让学生回到知识的发生之时，体验像数学家一样探索的过程。除了上述教学设计中提到的方法，历史上关于点到直线的距离公式的推导方法还有原点距离法、投影法和设而不求法等。这些方法让学生学会利用数形结合、转化、函数等数学方法解决数学问题，也可以让学生作为学习主体，体验数学学习中探究、发现和创造的乐趣。本教学设计实施的班级学生具有扎实的数学基础，鉴于此，在本节课的教学中，教师将数学史上的多种推导方法融人其中，带领学生了解点到直线的距离公式的历史，掌握点到直线的距离公式的多种证明方法，体会不同方法的巧妙之处。因此，本节课设定的教学目标如下。

（1）掌握点到直线的距离公式及两条平行线间的距离公式，并运用公式解决相关问题。

（2）通过探究点到直线的距离公式的推导方法，培养学生合作探究和发散思维的能力。

（3）通过展示多元的推导方法，感受用数形结合、转化等数学思想研究数学问题的优越性，提升学生逻辑推理、数学运算等素养。

在早期教科书中，普遍采用原点距离法推导公式，利用的直线方程为法线式，目前在中学教科书中没有涉及，所以此方法并不能直接运用在课堂教学中，但它的推导方法却能给我们以启示。此外，投影法和坐标平移法也需要应用法线式方程，也不适合融入课堂教学。但本次授课班级的学生数学基础扎实，有过竞赛经历。因此，交点法、三角法、三角形面积法、向量法、最值法等方法对学生来说是可以接受的，甚至还能进行创新，所以本节课教师将上述方法融入教学，并根据学情进行相应的改编，例如最值法中可以使用柯西不等式简化计算。数学史上各种方法出现的时间段及代表著作见表1.关于上述方法的介绍则在接下来的教学设计中根据学生的回答予以呈现。

三、教学设计与实施

由于授课班级学生的数学基础扎实，平时也经常会开展探究性活动，因此，笔者将本节课定位为探究式教学。1998年，美国哥伦比亚大学的西格尔（M，Siedel）教授提出数学探究式教学的四个阶段：准备与聚焦、探索与发现、综合与交流、评价与延伸。本节课参照上述四个阶段进行教学设计与实施。

（一）准备与聚焦

上课伊始，教师提出一个实际问题：如图2.在铁路附近有一个大型仓库。现要修建一条公路与之接连起来。那么怎么设计能使公路最短？最短路程是多少？该如何计算呢

接着，教师对本节课进行小结，请学生欣赏多种推导方法并对这些方法进行评价。

师：首先，本节课学习了点到直线的距离公式，掌握了它的多种推导方法，同时我们也与数学家们进行对话，领略了数学史上各种点到直线的距离公式精彩的推导方法。其次，本节课我们学习了多种数学思想，如数形结合、转化、从函数的视角看问题等。最后，通过历史上数学家一个又一个精彩的推导方法，一方面我们理解了点到直线的距离公式的内涵，感受到数学公式推导的巧妙之处;另一方面也能感受到其中浸润着的数学家们对知识孜孜不倦、力求创新的探索精神。

师：同学们，历史上如此丰富多彩的方法，大家也想出来了很多种，你们最喜欢哪一种？

生1：我最喜欢柯西不等式，我觉得计算简便，而且太巧妙了。

生2：我最喜欢向量法，因为它将向量用得很灵活，计算也挺简便。

生3：我最喜欢设而不求法，因为我不太能想到这么巧妙的方法。

师：看来每位同学的看法都不一样，那大家还能不能想出其他方法呢？这个问题就留给大家课后思考。

四、学生反馈

在以上教学设计实施前后，笔者对学生进行了课前和课后测试。其中课前学习单发放了40份，有效学习单38份;课后学习单发放了40份，有效学习单35份。

（一）课前学习单分析

学生均能准确地表述出“两点间的距离”，大多以文字表述为主，部分学生会配以几何表示，少部分学生直接给出两点间的距离公式或距离公式的文字表述。在表述“点到直线的距离”时（以下简称“点线距离”），学生有以下几种表述：

·点线距离是点到直线上所有点距离的最小值：

·点线距离是指过点作直线的垂线，垂线与已知直线的交点和已知点的距离：

·已知点关于直线的对称点和已知点的距离的一半为点线距离：

·点线距离是指一个点移动到直线的路径中的最短长度。

虽然學生对点线距离的表述不尽相同，但对点线距离的理解还是比较到位的。这些不同的表述方法代表了学生思考问题角度的多样性，也为学生思考推导点线距离公式的方法奠定了基础。

（二）课后学习单分析

1.知识与能力

课后学习单的结果表明，在本节课，所有学生都掌握了点到直線的距离公式，会正确运用点线距离解决相关问题。在课后学习单中，有以下一道题目。

2.情感与态度

在收到的35份有效学习单中，有1名学生认为没有必要介绍多元方法，他认为某些推导方法牵强且复杂，超出了结论本身的难度;有34名学生认为有必要了解多元的推导方法，他们的理由大致可以分为以下几类：

·促进对数学的进一步思考，还能顺便回忆之前所学的知识，拓展思维的广度与深度;

·多元的推导方法很有意思，让自己觉得很有趣;

·能更好地理解和运用公式，一题多解;

·每种方法都蕴含数学思想，展现数学之关;

·数学作为人类思想之结晶，应当被人们重视。不管是公式还是推导方法，任一方面都不能忽略。

当被问到最先想到的方法时，和预设一样，49%的学生最先想到交点法，20%的学生最先想到向量法，也有少数学生想到了面积法等。在选择最精彩的方法时，向量法、柯西不等式法（目标函数法）、设而不求法位居前三。学生认为，向量法的推导巧妙，无需分类讨论，避免了复杂计算而且适用性广：柯西不等式法十分巧妙，引人人胜，让人感受到了数学简洁之美;设而不求法思路巧妙，计算量小。

在谈到本节课的收获和困惑时，学生表示学到了许多种推导公式的方法，相对应地也学到了很多解题的思路，体会到数学上探索的乐趣。也有部分学生提出困惑：如何想到这种设而不求法的构造，这种思想能否进一步推广？可见学生的思考并未因这节课的结束而止步，而是对方法进行了再思考。

五、结语

整节课采取了“提出问题一学生探究一教学回溯一课堂总结”的教学模式，采用附加式、复制式和顺应式的方式融人数学史，共分为呈现问题、探究规律、总结公式、应用公式四个阶段。教师以实际问题作为背景创设教学情境，在具体问题上，提出一个解决典型数学问题公式的方法，让学生亲历提出问题、解决问题、反思总结的全过程。

通过将数学史融入点到直线的距离公式的教学，本节课达成了多元的教育价值，从学生熟悉的初中几何知识和一次函数知识出发，联系以往学习的不等式、函数最值、矩阵行列式和向量的知识，将学生个人思考与小组探究相结合进行推导公式。根据学生探究的过程对多元方法进行讲解，符合学生的认知心理，揭示了知识之谐。通过不同方法的对比，拓宽学生思维，从而展现了方法之美。学生通过小组合作探究活动，思考得出不同的推导方法，经历形式化公式背后的探索过程，体会到数学探究与发现的乐趣，从而营造了探究之乐。在公式推导中，通过几何方法帮助学生建立直观想象能力，培养学生逻辑推理和数学运算的核心素养。课前引入的仓库与铁路之间的最短路程设计问题，渗透了数学建模的核心素养，通过不同的数学思想和四种核心素养的渗透，从而达成了能力之助。学生的推导方法与历史上数学家们的推导方法进行对照，不仅树立了学生的自信心，也让学生感受到历史上数学家们孜孜不倦的探索精神，彰显数学史的德育之效。本节课的教学启示如下。

（1）本节课是一堂教师定位变换的课，教师是课堂的组织者，组织学生作为探究的主人，感受探究多种方法的乐趣。

（2）课堂上的小组合作，让学生更多地展示推导公式的方法，讨论公式的精髓和难易接受程度。学生不仅要掌握推导的结果，更重要的是理解推导方法背后的数学思想。

（3）不同的推导方法意味着看问题角度的不同，多元的推导方法有助于拓展学生的思维，提升学生逻辑推理和数学运算等核心素养。

（4）由于历史研究的局限性，课堂教学还未注意到不同方法背后相关人物、方法的背景及背后所反映的人文精神，因此还需加强数学史文化之魅的教育价值，让学生感受到数学的魅力。