以学定教，教学相长——初中数学“勾股定理”教学设计探讨

江苏省常熟市常清中学 姜 炜

课堂是呈现知识的重要平台，《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。因此，在课堂教学中，教师应掌控好设疑与探究之间的辩证关系，进而确立教学与学习之间的共通性，通过以学定教，围绕重点知识构建一个系统的探究框架，促进学习方式的转变，培养学生的自学能力。为此，本文从不同层面探讨了初中数学“勾股定理”一课的教学设计。通过实践发现，初中数学课堂教学的重点应把握四个核心：其一是深挖学生的基本活动经验；其二是加大数学活动在课堂上的应用频率；其三是提高数学概念的呈现力度；其四是加强课堂与生活之间的联系。本文对此进行了探究。

一、深挖初中生的基本活动经验

数学基本活动经验是学生在数学基本活动中逐渐积累的一种数学思维和技能，“经验”虽然是过去式，但它针对的却是当下及未来，是解决实际问题的内动力，因此，通过数学基本活动帮助学生积累经验，对促进学生的未来发展具有重要意义。数学基本活动经验包括两类目标，其一是过程性目标，其二是结果性目标。其中，过程性目标针对的是数学基本活动的开展，包括引导学生经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程；参与综合实践活动，积累综合运用数学知识、技能和方法等解决简单问题的数学活动经验等等。而在“勾股定理”一课教学中，调动学生的数学基本活动经验，需要教师立足他们已具备的学习经验“抛砖引玉”。

例如，在“勾股定理”一课的开篇阶段，笔者安排学生合作探究：（1）画一个三角形，有两边的长为1cm，2cm；（2）画一个三角形，两条边长分别为1cm，2cm，这两边的夹角为90°；（3）画一个直角三角形，直角边长1cm，斜边长2cm。课堂探究问题一：已知三角形两边长，能画出多少个三角形？问题二：已知三角形两边长，第三边长度有何范围？问题三：添加怎样的条件，能使第三边的长度确定？为什么？发现：已知直角三角形任意两边，第三边确定。猜一猜：直角三角形三边之间具有怎样的等量关系？量一下所画的直角三角形三边，猜测结论。

如此，从学生现有的认知出发，学生已经掌握了“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”。事实上，当三角形两边及其夹角确定时，第三边长也就确定，三边之间满足某种等量关系（余弦定理）。初中阶段从最简单的直角三角形开始研究。根据之前学习的全等三角形相关知识学生可以发现，直角三角形只需知道两边长，三角形全等（SAS,HL），第三边就确定，从而引发思考：直角三角形三边之间有何等量关系？将前后知识进行串联，从而引发学生思考新的问题，构建知识脉络。通过在课堂开始阶段的设问，带动了学生进行深度思考，调动了他们的已有经验，为下一环节的学习打下了基础。

二、加大数学活动在课堂上的应用

在初中数学教材中，“勾股定理”充分体现了“数形结合”的思想，带动学生从“数”的角度来窥探“形”的内质，从“形”角度感知“数”的作用。为此，教师可加大数学活动在课堂上的应用力度，通过“教、学相长”提高初中生对勾股定理的客观认识。

例如，教师可设计3 与勾股定理相类的课堂活动：

活动一：以Rt △ABC三边为边长，分别向外作正方形，若将小方格的面积看作1，则以AB为一边的正方形的面积是9，以BC为一边的正方形的面积是16，你能计算出以AC为一边的正方形的面积吗？三个正方形面积之间有怎样的数量关系？

活动二：学生在网格纸中任意画Rt △ABC,以三边为边长分别向外作正方形，三个正方形面积之间有怎样的数量关系？学生合作探究：a²＋b²=c²。

活动三：教师几何画板演示，当直角三角形边长发生变化时，以两直角边向外作的两个正方形面积和始终等于以斜边为边长作的正方形面积。

如此，通过数学活动在课堂上的应用，使学生亲身体验了勾股定理的发现过程，借此掌握了它的主要功能，即判定直角三角形，从而加强了对勾股定理的认识。

三、提高学生对数学概念的认知力度

在课堂上，学生对数学概念或定义的认知应是全方位的。在理论层面，教师需以最大限度让学生掌握概念的原理、适用范围及其应用方法；在实践层面，教师需要以实践来反映理论，用理论去阐释实践，进而通过两者结合，提高学生对数学概念的认知力度，加强他们的知识应用能力和问题解决能力。

例如，在学生已基本掌握了勾股定理的性质及其功能之后，笔者再次从不同视角引导学生来认识勾股定理。

首先引入习题：

（1）求下列直角三角形中未知边的长。

（2）求下列图中x、y、z的值。

学生独立完成并交流后，教师启发学生课后思考：如果以直角三角形三边为边长向外作正三角形，结论是否成立？作半圆呢？从而达到对知识的再巩固。

四、让学生感知勾股定理的生活应用

在知识讲解的基础上，教师还需引导学生将视野由课堂转向课外，通过引入生活实例，进一步加深学生对课堂所学的理解，培养他们的知识应用能力，从而学有所用，提高数学素养。

例如，在综合概括勾股定理的概念之后，笔者用课件引入生活实例：工人师傅想把一块长3 米、宽2.2 米的长方形木板放进电梯运到楼上，然而通过测量发现，电梯门的宽度仅有1 米，高度为2 米。如果你在现场，你能否用勾股定理解决这一问题？

学生通过合作探究分析问题：显然，竖着从正面是无法将木板放入电梯的，只有斜着放进去。设电梯门的四个角为ABCD，连接AC或BD，则得到了两个直角三角形。已知电梯门的宽度是1 米，高度是2 米，运用勾股定理，则1²＋2²=5（米），大于木板的长和宽，因此可以斜着将木板放进电梯。

如此，通过实例的应用，提高了学生的知识应用能力，也提升了本课的教学质量。

总之，数学是一门极具抽象性的学科，与此同时，它也是一门工具性学科，广泛应用于生活的各个领域。因此，作为初中数学教师，应当以最大限度引导学生透析数学的抽象性，通过以学定教，让他们了解数学的工具性，带动学生从解决实际问题的角度出发来学习数学，引导学生进入一个广阔的数学天地。