赏析2019年全国Ⅰ卷第16题的多解

江西省赣州市第三中学 (341000) 张晓辉

2019年全国卷Ⅰ理科第16题是一道综合性强、难度较大的有关双曲线离心率的好题，涉及双曲线的渐近线、两条直线的交点、两条直线垂直等知识点.思维量大，对数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象及数据处理等核心素养要求较高.本文尝试多视角分析解决这个问题，以强化知识之间的联系，探究如何运用知识分析问题和解决问题，探讨求双曲线线离心率的基本思路和方法.

图1

评析：由A为F1B的中点得xB=2xA-xF1，yB=2yA，而yB=2yA结构更简.这类题型经常出现在圆锥曲线题型中，常常转换成用韦达定理来求解.

评析：换元之后多个环节得到简化，更是把计算难度降低了，解法2得到一些优化.

评析：“小题小做”，运用赋值法，体现从一般到特殊的转化，问题的本质并没有变化，却能达成便于解决问题的目的，此法是解决小题的利器.

评析：换个角度看问题，发现总在不经意间，解法5，6，7通过不断视角转换，使得解答多姿多彩.

评析：具体问题具体分析，点B既是交点，又是直线OB上的点，这是条件的交叉点，关系式就建立了，解法7通过对直接设出点B的坐标，让解法1得到优化.

图2

评析：解法9，10，11侧重数形结合，以形助数，以数辅形，通过数与形的相互转化，从而达到解决问题的目的，达到事半功倍的效果.

评析：解法12，13充分利用图形的几何特征，巧妙构思，易于运算，借助双曲线的定义，修成正果.