深层探究“糖水不等式”

云南省玉溪第一中学

1 “糖水不等式”的科学背景

人教普通高中课程标准实验教科书A版(2007年1月第2版)数学选修4-5“不等式选讲”第21页有这样一道例题:

如果用akg 白糖制出bkg 糖溶液,则糖的质量分数为

可以把上述事实抽象成如下不等式问题:

糖水不等式已知b>a>0,m>0,则

用比较法很容易证明此不等式,此处从略.为了方便表述,我们把上述不等式称之为“糖水不等式”(此不等式可以理解为糖水加糖变甜了).

2 深层理解“糖水不等式”

3 “糖水不等式”的本质

4 “糖水不等式”的推论

推论1[3]若b>a>0,m>0,则

推论2[5]若b1> a1>0,b2> a2>0,则此推论可以理解为,把两杯浓度不同的糖水混合在一起,所得糖水一定是比浓的糖水淡一些,比淡的糖水甜一些.

5 “糖水不等式”的应用

5.1 “糖水不等式”的正向应用

例1[1](2008年全国高中数学联赛山东省预赛题)

若x >0,y >0,z >0,且xyz=1,求证:1<

证明依题意,可设

则

综上,原不等式得证.

例2[7](2009年高考山东卷)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知∀n ∈N∗,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>0,且b ̸=1,b,r均为常数)的图象上.

(1)求r的值;

(2)当b=2时,记bn=2(log2an+1)(n ∈N∗),证明:∀n ∈N∗,不等式恒成立.

解(1)略.(2)由(1)知,an=(b-1)bn-1.当b=2时,易知bn=2n,故要证明的不等式为

5.2 “糖水不等式”的逆向应用

例3[6](2015年高考安徽卷)设n ∈N∗,xn是曲线y=x2n+2+1 在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.

(1)求数列{xn}的通项公式;

解 (1)(求解过程略).(2)由已知和(1),得

当n=1时,不等式成立.当n ≥2时,由“糖水不等式”,得所以综上所述,对任意的n ∈N∗,均有

例4[6](2013年北京大学自主招生测试题)正数a,b,c满足a

证明因为a

因为a,b,c均为正数,且2bc > bc,由“糖水不等式”,得而由已知正数a,b,c满足a < b+c,可得b+c-a >0,故从而

例5[4](1998年全国高考题)已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+···+b10=145.

(1)求数列{bn}的通项bn;

(2)设数列{an}的通项an=a >0,且a ̸= 1),记Sn是数列{an}的前n项和,试比较Sn与的大小,并证明你的结论.

解(1)bn=3n-2 (过程从略).

(2)Sn=loga

因此,要比较Sn与的大小,可先比较与的大小,即比较与3n+1的大小,即比较与3n+1的大小.

由此证得:当a >1时,当0< a <1时,