区间直觉模糊熵-集对分析-理想解耦合的多属性决策模型

任红岗 谭卓英

(1.北京矿冶科技集团有限公司,北京 100160;2.北京科技大学土木与资源工程学院,北京 100083)

1 引言

多属性决策涉及多因素、多目标、多层次、多指标相互交叉等问题,它综合了大量复杂多样的定性及定量指标元素,来判定评价对象的优劣性[1-2],评价方法是否合理直接影响到决策的正确性和科学性.目前,国内外研究将不确定分析理论应用到多属性决策中,常用的有模糊数学[3]、层次分析法(analytic hierarchy process,AHP)[4]、理想解法(technique for order preference by similarity to an ideal solution,TOPSIS)[5]、神经网络法[6]、熵权法[7]、突变级数法(catastrophe progression method,CPM)、灰色关联分析(grey relation analysis,GRA)、云模型、贝叶斯网络、物元分析法等[8-10],这些方法应用到综合评价中取得了一定效果,但也存在一些不足.

传统的多属性决策评价方法往往采用单一理论,未考虑评价指标的区间模糊性[11-13],评价时一般仅考虑了评价集与比较集之间的隶属度,却忽略了它们之间的非隶属度和犹豫度的影响.确定权重的方法有主观法和客观法两类[14],主观赋权是根据专家经验数据确定,会带有一定主观性、片面性,客观赋权根据评价指标自身量化值确定权重,不依赖主观判断,但存在解释性差的缺点.国内有的学者利用两种方法的组合进行综合评价,国外一些学者将模糊集应用到多属性决策中,取得了一定的效果[15-18],但是这些研究大多是基于评价指标属性为定值,通常只考虑比较集的隶属度,且采用单一方法确定权重,鲜有对待评价方案从区间属性、非隶属性和犹豫性、权重确定的均衡性方面综合研究,这往往会导致评价指标的主客观权重的失衡、评价结果不够全面[19-20].

针对以往决策评价模型存在的不足,本文提出区间直觉模糊熵-集对分析-理想解耦合的多属性决策模型,综合评价模型(interval valued intuitionistic fuzzy entropy-set pair analysis-TOPSIS,IVIFE-SPA-TOPSIS),基于区间模糊熵[21]和集对分析理论,将集对分析理论中的同、异、反三种特性分别与直觉模糊集的隶属度、非隶属度、犹豫度相融合,综合考虑确定性与不确定性因素,量化了评价集的关联度区间范围,增强了对不确定信息的表达能力.此外,引入博弈论[22]思想改进了权重确定方法,统筹考虑了主观和客观权重,避免了以往单一类型方法确定权重的缺陷性,并将灰色关联度与TOPSIS模型结合起,计算各评价方案分别与正理想解、负理想解之间的灰色关联度,使得备选方案的优劣性排序更具合理性和准确性.最后将新的评价模型应用于采场结构参数方案决策中,确定最优的采场结构参数方案,得到了较为满意的效果,评价结果更为全面、可靠.

2 构建IVIFE-SPA-TOPSIS评价模型

IVIFE-SPA-TOPSIS模型以区间直觉模糊多属性决策的理论为基础,将集对分析理论与模糊思想相结合,对影响因素进行多层次分解,建立评价指标体系.结合层次分析法和变异系数法(coefficient of variation method,CVM)确定的权重信息,引入博弈论思想改进权重确定方法,统筹考虑了主观和客观权重.以区间数来描述隶属度指标,计算区间直觉模糊决策矩阵,指标规范化后,再利用正、负理想解TOPSIS计算灰色关联度.最后将得到方案排序和评价结论,IVIFE-SPA-TOPSIS评价模型流程图见图1.

2.1 区间直觉模糊熵(IVIFE)

在区间直觉模糊多属性问题的决策中,若有m个备选方案,n个属性,定义第i个方案第j个属性值为aij,表示为aij=,其中:i=1,2,···,m; j=1,2,···,n,则第j 个属性区间直觉模糊熵Hj为

2.2 集对分析理论(SPA)

集对分析理论是由中国的学者赵克勤在1989年提出的[23],其核心思想是将对立统一的辨证思想融入系统分析中,从比较集的同、异、反三方面综合评价[24-25].对于任意的两个集合A和B组成的集对为H=(A,B),它们之间的确定性与不确定性关系可采用表达式表示如下:

式中:µ为联系度;N为集对的特征数量;S为集对中两集合相同特性的特征数;P为集对中两集合相互对立的特征数;F=N−S−P,表示集对中两集合既不相同也不相对立的特征数;i为差异度系数,i∈[−1,1];j为对立度系数,一般取j=−1;α=S/N,β=F/N,γ=P/N分别称为同一度、差异度和对立度,其中α+β+γ=1,且α,β,γ均为非负数.参数α和γ定量表征了事物的同一与对立状态,介于同一与对立之间的不确定性可用β·i来区分,其中参数β表征宏观意义上的不确定性,i用来表征微观意义上的不确定性,在3个宏观参数α,β,γ确定后,需要对差异度系数i量化,代入式(7)可求得联系度µ.

设评价数列为x0(j)(j=1,2,···,n),比较数列为xi(j),它们关联系数为µi(j),表达式为[26]

式中:ξ为分辨系数;关联度表达式为

2.3 IVIFE-SPA-TOPSIS模型

联系度µ=α+βi+γj表征了集对内部集合之间的关系,由于α,β,γ非负且可以确定,µ的大小取决于i取值.当两个集合趋于相同,i 的取值为大;当两个集合趋于相反,i的取值为小.对于多属性决策问题,设方案集

其中Ai为第i个方案,i=1,2,···,m;评价属性集

其中Bj为第j个方案的属性,j=1,2,···,n;属性权重向量w={w1,w2,···,wn}T,wi为Bi的权重,且满足=1.方案Ai在属性Bj的取值为区间模糊数,则区间直觉模糊决策矩阵

步骤1根据计算的期望函数的大小,将属性Bj的评价值,···,进行排序,将最大值定义为,最小值定义为,确定区间直接模糊正理想解和负理想解如下:

步骤2计算出方案i与正理想解及负理想解位置接近度分别为

步骤3依据灰色关联度理论,计算各方案的评价值与正、负理想解的灰色关联系数分别为

步骤4结合属性权重向量,可计算各方案与正、负理想解的灰色关联度分别如下:

计算各方案正理想解的相对关联度:

步骤5计算出方案i与正理想解及负理想解在形状上相似度分别如下:

步骤6合并无量纲化的,并引入偏好度η,合并公式为

步骤7计算各方案正理想解的相对贴近度:

Ei值越大说明方案越佳,反之则越差.

2.4 博弈论的指标权重确定模型

1)主观法确定指标权重.

步骤1建立层次结构.层次分析法AHP是主观法确定权重方法之一,AHP中的关键步骤是构建有层次性、条理性的评价模型体系,将评价模型体系可划分为目标层、准则层、指标层等几个层次.

步骤2构造比较的判断矩阵.对于准则层,将其n个元素之间相对重要性进行比较,可以得到一个两两比较判断矩阵,即

式中aij表示指标ai对aj的重要程度,根据专家经验对两指标关系进行判定,按照1∼9比例标度对重要性程度赋于值.

步骤3计算各指标的权重.将判断矩阵A的各个行向量先进行几何平均,然后归一化,得到的行向量即为权重向量,见下式:

步骤4求出判断矩阵的最大特征根,即

步骤5判断矩阵一致性检验.一致性比例(consistency ratio,CR)计算见下式:

式中:CI(consisteney index)为判断矩阵一致性指标;RI(random index)为随机一致性指标平均值.当CR<0.1时,该判断矩阵一致性能被接受;当CR ≥0.1时,应适当修正判断矩阵.

2)客观法确定指标权重.

变异系数法是客观赋权法中的一种方法,它是依据评价指标的变化程度来确定权重,该方法能够明显区分各个被评价对象权重.在进行两个指标值变异程度的比较时,可采用标准差与平均数的比值(相对值)来比较,变异系数法计算过程如下:

步骤1计算第j项指标平均数和标准差见下式:

步骤2变异系数和权重值见下式:

3)博弈论确定指标综合权重.博弈论又被称为对策论(game theory),是指研究多个对象之间在特定条件下的对局中采用相关方的策略.利用博弈论思想把主观和客观确定权重的方法有机结合起来,进行计算综合权重,可提高多属性权重计算的精确性、科学性.

步骤1采用L种方法进行计算权重,构造成权重集为wk=(wk1,wk2,···,wkm),k=1,2,···,L. L个向量通过线性组合如下:

式中w为L种向量的综合权重向量集.

步骤2为了对L个权重向量ak进行优化,即寻求w与wk的差值最小,即

步骤3对上式一阶导数求导可得

步骤4计算出(a1,a2,···,aL)进行归一化处理得

步骤5计算综合权重为

3 实例分析

3.1 项目背景

湖北宜昌地区中厚磷矿层大部分节理裂隙发育,矿体较为破碎,较适宜的采矿方法为预控顶嗣后充填采矿法.该方法采用条形方式布置采场,矿房矿柱依次间隔开采,矿块四周由上部通道和下部通道构成,采矿方法示意图见图2.开采工艺主要分为切顶、护顶、降底、充填4个工序.

采矿方案的适用性从空间结构、位置布置、参数大小、形态分布上相差迥异[27-28],采矿方法及其结构参数的选取涉及到技术、经济、安全、环保等多个方面[29].选取的采矿方法包含爆破崩落、锚杆(索)加固、废石胶结充填、混凝土接顶充填、胶结充填等多重工序,每种采场结构方案都包含多重属性,如成本费用、生产能力、贫化率、损失率、施工安全性、施工难易程度等,构建的采场参数评价体系见图3.这些指标值往往分布于区间范围,具有一定的模糊性和不确定性.预控顶嗣后充填采矿法采场结构参数方案见表1.

图2 预控顶嗣后充填采矿法Fig.2 Pre-controlled roof-backfilling mining method

图3 采场结构参数评价指标体系框图Fig.3 Block diagram of index system for evaluating stope structural parameters

表1 采场结构参数方案Table 1 Structural scheme plan for stope

3.2 制定评价指标

将成本费用、生产能力、贫化率、损失率、安全性、施工难易程度6项指标纳入评价体系,其评价指标值见表2.

3.3 量化定性指标

对于定性指标的重要性比较,首先对其进行区间量化赋值,并按照其影响大小区分为5级,见表3.

表2 不同采场结构参数的评价指标信息Table 2 The indexes information of structural parameters of different stope

表3 定性指标定量化Table 3 Quantification of qualitative index

3.4 确定方案等级

根据本矿山具体情况,制定采场结构参数方案等级标准,见表4.

表4 采场结构参数方案的等级标准Table 4 Rating standard of stope parameter scheme

3.5 建立集对联系度

将表2中评价指标与表4中方案等级指标建立集对,根据式(7),分别确定每两个比较指标集对同一度、差异度、对立度系数.当评价指标与方案指标完全相同时,同一度系数为1,反之,对立度度系数为1;当评价指标与方案指标不完全相同,存在区间重合时,按照区间重合度比例计算同一度、对立度系数.将每两指标集对同一度、差异度、对立度系数乘以指标权重并求和,可得出每个方案与不用方案等级之间的联系度信息,见表5.

为了计算差异度系数i的值,需比较确定差异度β与同一度α、对立度γ的联系度,利用式(7)和式(8)计算联系度,分别求得µαβ=0.6173,µβγ=0.7015,即µβγ>µαβ,可知差异度与对立度的关联系数较大.差异度系数i的量化值为0.7015,j=−1,将其代入表5联系度表达式,建立各方案与等级间联系度,见图4.

图4 各方案分级图Fig.4 Classification map of each scheme

由图4可知,与I级评价指标关联度较高的方案为方案A、方案B,方案C为III级,方案D为IV级,方案E为V级.

3.6 综合确定权重

1)CVM法确定权重.

定量指标因数的权重直接根据变异系数法确定,利用式(22)-(25)进行计算,再根据变系数法确定权重.计算得到权重集为W=(0.10,0.09,0.19,0.13,0.35,0.13).

2)AHP确定权重.

通过对各评判指标进行两两对比,形成因素重要性判断矩阵(见表6),计算出各指标的权重集为W=(0.22,0.13,0.13,0.14,0.30,0.09).

3)博弈论确定权重.

采用博弈论方法将上述2种权重值进行集成,得到采场结构参数方案各指标权重值见图5所示.可以看出,成本费用、安全性这两项指标权重最高,生产能力、贫化率、损失率、施工难易程度指标权重较小.

表5 各采场参数方案联系度信息表Table 5 Connection degree information of each stope structural parameter

表6 因素重要性比较和判定Table 6 Comparison and determination of factor importance

图5 各评价指标权重系数Fig.5 Weight of each evaluation index

3.7 多属性决策

由决策者分别对5种采场结构参数方案进行评估,按照用区间直觉模糊决策矩阵=()5×6格式[30],整理汇总决策矩阵如表7所示.

表7 区间直觉模糊决策矩阵Table 7 Interval valued intuitionistic fuzzy decision matrices

利用式(12)-(13)计算各方案与正、负理想解灰色关联度如下:

利用式(14)计算各方案与正理想解的相对关联度如下:

根据µi(i=1,2,···,5)的大小对方案排序,则B>A>C>D>E,可知最优方案为B.

表8为方案评价结果对比表,评价结果表明,采用IVIFE-SPA-TOPSIS评价模型确定的结果与传统的SPA-TOPSI和GRA-TOPSIS模型评价结果一致,证明该评价模型是可行和有效的.

表8 方案评价结果对比表Table 8 Comparison of programme evaluation

偏好度作为一种主观态度,影响着人们的决策和行为.通常,评价者偏好度不同时,做出的评价会有所差异,为了消除决策者主观偏好度对评价结果的影响,需要分析比较不同偏好度情况下的方案优越性.图6所示为方案贴近度在偏好度从0到1的变化结果.

图6 偏好灵敏度分析图Fig.6 Sensitivity analysis of Preference degree

当偏好度变大时,方案A,B,C的贴近度在逐渐增大,方案D,E贴近度逐渐减小.方案A,B,C的贴近度与位置的偏好度成正比,此3个方案在距离上更趋于最优方案;方案D,E贴近度与位置的偏好度成反比,这两个方案在形状上比距离上更接近最优方案.方案B的贴近度最大,表明无论偏好度如何变化,方案B均为为最优方案.方案B与方案A评价贴近度差距随偏好度的增加而逐渐加大,表明方案B 优越性比方案A更加明显.

3.8 IVIFE-SPA-TOPSIS评价模型优越性分析

1)方案优劣性比较分析.

从定性角度分析,表9列出了不同评价模型决策考虑因素,其中,GRA-TOPSIS模型在确定比较集的联系度时,只考虑从正、反两个角度比较,缺少差异度信息.GRA-TOPSIS模型和SPA-TOPSIS模型均未考虑评价因素的区间性、决策偏好度,且均采用单一方法确定权重,因此,这些评价模型考虑因素不全,不能全面、综合、系统体现方案的优略性.而IVIFE-SPA-TOPSIS评价模型综合集成全方位联系度、决策区间性、综合权重法、偏好度等因素优点,使得评价模型具有明显优势.

表9 不同评价模型决策考虑因素比较Table 9 Comparison of decision-making considerations in different evaluation models

2)同一评价模型下方案间纵向比较分析.

从定量角度分析,评价模型精准性主要取决于不同方案关联度在同一评价模型中的差异性,差异性越明显,越有利于选择最优方案,反之则相反.为了方便对比,本文对3种评价模型中最优方案与各方案优越度进行汇总,见图7.采用IVIFE-SPA-TOPSIS评价模型后,最优方案与其他各方案优越度差距均最大,方案优劣性更加显现,采用SPA-TOPSIS 和GRA-TOPSIS评价模型时,由于评价缺少多方位的考虑因素,有时难以区分两个方案的优劣性,如方案B比方案A的优越度只高出3%,优越性并不明显,尤其在受主观因素影响下,更加难以区分最优方案,往往使得评价结果不够精准,导致决策失误.

方案间优越度差异性由大到小排序依次为VIFE-SPA-TOPSIS,SPA-TOPSIS,GRA-TOPSIS,前者考虑因素最全,其评价结果最为有效,这与上述定性分析结果相一致.IVIFE-SPA-TOPSIS模型中方案B的优越性更加明显,这是因为该评价模型将集对分析理论与直觉模糊集相融合,充分考虑了比较集的区间重合度、区间直觉模糊特性,拓宽了评价指标值区间范围,增强了对不确定信息的表达能力,使得方案优劣性更加凸显,便于精准确定最优方案.

图7 不同评价模型最优方案优越度比较Fig.7 Comparisons of superiority of optimal schemes of different evaluation models

3)不同评价模型下同一方案横向比较分析.

由于方案关联度指标是建立在同一评价模型基础上的,对于不同评价模型下的同一方案,由于参考系不同,对比标准不一致,方案的关联度大小可比性不强,即任意一个方案的关联度在GRA-TOPSIS模型、SPA-TOPSIS模型与IVIFE-SPA-TOPSIS之间,横向对比没有意义,因此,只对同一评价模型下方案间优劣的进行纵向比较分析.

4 结论

1)基于直觉模糊熵和集对分析理论,提出了IVIFE-SPA-TOPSIS多属性决策模型,给出了详细的决策计算步骤.该模型统筹考虑决策信息的区间性、模糊性、不确定性,实现了评价决策的定性与定量研究相结合、统计数据与经验理论相结合、系统思维与层次结构相结合,为多属性决策提供新的思路和方法,丰富了决策理论的研究.

2)引入博弈论思想将层次分析法和变异系数法确定权重的方法结合起来,综合集成包括了感情的、经验的、理性的、科学的权重指标,将专家经验、统计数据、信息资料三者有机统一起来,既反映了客观信息,又反映决策者的主观意愿,避免了以往确定权重过程带有的主观片面性和评价方法单一性的缺点,使得权重指标评价结果更加真实、可靠,切合实际.

3)基于信息熵和灰色关联分析的区间直觉模糊多属性决策方法,将灰色关联理论与TOPSIS模型结合起来,既能映了数据序列之间的位置逼近关系,又可反映数据序列间形态的差异关系.分析了不同的评价者偏好度影响下方案指标与正理想解的贴近度,消除决策者主观偏好度对评价结果的影响,从而确定了最优方案.

4)通过算理分析,从同、异、反3个角度综合比较分析5种方案的6种指标特性,确定了最优的采场参数方案,验证模型的有效性、合理性、综合性.研究结果表明该评价模型原理和步骤清晰、计算便捷,具有一般性和通用性,便于推广应用到其他领域的多属性、多层次决策评价中.